Agua en tuberías

Distingamos dos cantidades: la rapidez $v$ del agua, en metros por segundo, y el caudal volumétrico $Q$, cuánto volumen pasa por segundo, en metros cúbicos por segundo o litros por segundo.

Una tubería de sección $A$ está llena de agua que fluye a $v$. Durante un tiempo breve $\Delta t$, cada punto avanza $v\,\Delta t$. El agua que cruza una sección en ese tiempo forma un segmento de longitud $v\,\Delta t$, área $A$ y volumen $A v\,\Delta t$. Dividiendo entre el tiempo obtenemos el caudal:

Un metro cúbico son $1000$ litros, así que $8\ \mathrm{L/s}$ equivale a $0.008\ \mathrm{m^3/s}$.

Cambia el radio y la rapidez. La región sombreada es el agua que cruza la línea discontinua en un segundo.

La entrada del Venturi que usaremos tiene radio $6\ \mathrm{cm}$ y área $A_1 = \pi \times 0.06^2 = 0.01131\ \mathrm{m^2}$. Cuando $Q = 0.008\ \mathrm{m^3/s}$, la rapidez allí es $v_1 = Q/A_1 = 0.008/0.01131 = 0.707\ \mathrm{m/s}$.

Estrechemos la tubería. El agua es casi incompresible: a presiones ordinarias su volumen prácticamente no cambia, por lo que no puede acumularse indefinidamente en una tubería llena. En régimen estable, cada segundo sale por la sección estrecha tanta agua como entra por la ancha. Así, $Q$ es igual en todas las secciones y, por la sección 1:

La sección es circular y su área es $\pi r^2$. Si el radio estrecho es $0.55$ veces el de entrada, su área es $0.55^2 = 0.3025$ veces, porque $\pi$ es igual y los radios se elevan al cuadrado. El agua debe ir $1/0.3025 = 3.31$ veces más rápido: $v_2 = 0.707 \times 3.31 = 2.34\ \mathrm{m/s}$. Comparamos dos secciones de un mismo flujo estable. El experimento supone una bomba que mantiene el caudal elegido. Un grifo real puede no mantenerlo al tapar la salida y el caudal total puede disminuir; aun así, en cada estado estable pasa igual volumen por segundo a través de todas las secciones.

Estrecha aún más la parte estrecha. Las dos zonas sombreadas son el agua que cruza las dos líneas discontinuas en medio segundo: tienen el mismo volumen, pero en la parte estrecha esa porción es más larga y delgada.

En la parte estrecha el agua fluye más deprisa, por lo que tiene más energía cinética: algo debe haber realizado trabajo sobre ella. En una tubería horizontal, nada empuja el agua salvo el agua que la rodea, así que la velocidad adicional solo puede proceder de una diferencia de presión: el agua de detrás empuja con más fuerza que la de delante. La página sobre trabajo y energía nos da la regla necesaria: el trabajo realizado sobre un objeto es igual al cambio de su energía cinética.

Tomemos toda el agua entre la entrada ancha y la salida estrecha y comparemos su estado antes y después de un intervalo muy corto $\Delta t$. En un flujo estacionario e incompresible, los volúmenes que entran y salen son iguales a $\Delta V$. El agua de la región central común a ambos estados mantiene la misma distribución de velocidades y su energía cinética no cambia; la diferencia es que en la entrada falta una porción con rapidez $v_1$ y en la salida aparece otra del mismo volumen con rapidez $v_2$. Cada porción tiene masa $\rho\,\Delta V$, así que la diferencia de energía cinética es $\tfrac12\rho\,\Delta V(v_2^2-v_1^2)$. Contemos también el trabajo de la presión en los extremos: en la entrada, la fuerza $p_1A_1$ empuja hacia delante a lo largo de $d_1$; como $A_1d_1=\Delta V$, aporta un trabajo $p_1\Delta V$. En la salida, la presión ejerce una fuerza $p_2A_2$ que se opone al avance; el desplazamiento $d_2$ satisface $A_2d_2=\Delta V$ y se extrae un trabajo $p_2\Delta V$. En este modelo horizontal y sin rozamiento, el trabajo neto es igual a ese aumento de energía cinética:

En la segunda línea dividimos ambos miembros entre $\Delta V$; en la tercera, trasladamos términos para que cada miembro corresponda a una sola posición. Por tanto, la combinación $p + \tfrac{1}{2}\rho v^2$ permanece constante a lo largo de la tubería. Esta es la ecuación de Bernoulli para una tubería horizontal. Cuanto más deprisa fluye el agua, mayor es $\tfrac{1}{2}\rho v^2$ y menor debe ser $p$. La presión es menor en la parte estrecha: precisamente esta diferencia de presión acelera el agua al entrar en ella.

Suponemos que no se pierde energía por rozamiento durante el recorrido, una buena aproximación para una tubería corta y lisa; el capítulo 5 explica qué cambia cuando esto no se cumple. Si además la tubería sube una altura $h_2 - h_1$, la gravedad extrae de esa porción de agua un trabajo $\rho\,\Delta V g\,(h_2 - h_1)$. Al incluirlo y dividir entre $\Delta V$, aparece un término gravitatorio adicional: a lo largo de la tubería, $p + \tfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h$ permanece constante.

Para el tubo de Venturi del capítulo 2, las velocidades sin redondear calculadas con $v=Q/A$ dan $p_1-p_2=\tfrac12\rho(v_2^2-v_1^2)\approx2484\,\mathrm{Pa}$. Si usamos las velocidades redondeadas que se muestran, $2.34$ y $0.707\,\mathrm{m/s}$, obtenemos aproximadamente $2488\,\mathrm{Pa}$; la diferencia se debe al redondeo, no a otro efecto físico.

Esta es aquella tubería. Tiene dos tubos finos verticales, uno en la parte ancha y otro en la estrecha. El agua sube por cada tubo hasta que el peso de la columna equilibra la presión de la tubería inferior. Según el capítulo 2 de Presión y empuje en el agua, una columna de altura $h$ produce una presión $\rho g h$, así que la altura es $h = p/(\rho g)$. Por tanto, una diferencia de presión $2484\ \mathrm{Pa}$ se manifiesta como una diferencia de alturas $2484/(1000 \times 9.81) = 0.253\ \mathrm{m}$, aproximadamente $25\ \mathrm{cm}$.

Pulsa reproducir. Los anillos dorados son marcas en el agua: observa cómo se separan donde el agua acelera. Cambia el caudal y el estrechamiento y compara las lecturas con las fórmulas anteriores. La tubería y los tubos finos se representan más grandes que en la realidad para facilitar la observación.

El agua real tiene cierta viscosidad. Las capas de agua que se deslizan unas sobre otras rozan entre sí, un poco como al frotarte las manos; ese rozamiento transforma parte de la energía en calor. La magnitud que mide esta propiedad se llama viscosidad y se representa por $\mu$, la letra griega mu. La miel tiene una viscosidad muy alta y el agua una muy baja, de aproximadamente $0.001\ \mathrm{Pa\,s}$, que escribimos como $1\ \mathrm{mPa\,s}$.

Observa una tubería larga, recta y de sección constante. Según el capítulo 2, la rapidez es igual en todos sus puntos, por lo que la ecuación de Bernoulli también daría la misma presión en todas partes: un agua sin viscosidad seguiría fluyendo sin ningún empuje. El agua real no se comporta así. El agua en contacto con la pared está inmóvil, la capa contigua avanza despacio y el agua del centro avanza más deprisa. Las capas rozan entre sí; si una diferencia de presión $\Delta p$ entre los extremos no mantiene el empuje, el flujo termina deteniéndose.

¿Cuál es el caudal? Suponemos una tubería recta de sección circular, una viscosidad constante y un flujo laminar plenamente desarrollado: las capas se deslizan suavemente, la distribución de velocidades ya no cambia a lo largo del tubo y despreciamos los efectos cerca de la entrada y la salida. En este flujo estacionario, el empuje debido a la diferencia de presión equilibra el rozamiento. Al duplicar $\Delta p$, se duplica el empuje; como el rozamiento es proporcional a la rapidez relativa entre capas, también se duplican las velocidades en todos los puntos y $Q$. Un líquido con el doble de viscosidad presenta el doble de rozamiento a la misma rapidez, así que, con el mismo empuje, solo fluye a la mitad de rapidez. Para una tubería de radio $R$ y longitud $L$, estas relaciones forman la ley de Poiseuille, que se deduce paso a paso en el recuadro siguiente:

Lo más llamativo es $R^4$: al duplicar el radio de la tubería, el caudal se multiplica por $2^4 = 16$ con la misma diferencia de presión. En la tubería inferior, $R = 6\ \mathrm{mm}$, $L = 1\ \mathrm{m}$, $\Delta p = 20\ \mathrm{Pa}$ y $\mu = 1\ \mathrm{mPa\,s}$, por lo que $Q = \frac{\pi \times 20 \times 0.006^4}{8 \times 0.001 \times 1} = 1.02 \times 10^{-5}\ \mathrm{m^3/s}$, aproximadamente $10.2\ \mathrm{mL/s}$. La rapidez media es $Q/(\pi R^2) = 0.090\ \mathrm{m/s}$ y la del centro es el doble de la media.

Pulsa reproducir. La lámina dorada de colorante comienza plana y después se deforma hasta curvarse: el centro avanza más deprisa y la pared permanece inmóvil. Cambia $\Delta p$ y $\mu$ y compara el caudal con la fórmula.