线性代数 · 从零开始

让矩阵，动起整个平面

屏幕上的图片被旋转、拉伸或者推斜时，图上的每一个点都同时移动。一条规则放进一个点、给出另一个点，就像一个函数：函数页面里一个输入只给出一个输出，这里只是把数换成了点。如果要逐个记录每一个点去了哪里，这份记录永远也写不完。幸运的是，有一类变换只需要两个箭头就够了：它们让网格线保持笔直、平行、间距均匀，并且原点不动。两个箭头就够了。这样的箭头叫作向量，它们能带动整幅图。

点 (2, 1) 表示从原点向右走 2，再向上走 1。这里其实用到了两个基本方向。假设我们改变这两个方向，并让每个点仍然按原来的倍数组合它们，整个图形会怎样变化呢？我们先把这两个方向画清楚，再看矩阵中的两列怎样记录它们的新位置。

01用两个方向，定位平面上的每一个点

向量表示一个有方向的位移： $(1,0)$ 表示向右 1、向上 0； $(0,1)$ 表示向右 0、向上 1。先从原点画出这两个箭头。接下来记录每个箭头：把横坐标写在上，纵坐标写在下，组成一列。再把两列并排放在一起，就得到一个长方形的数表，叫作矩阵。横着读的是行，竖着读的是列。下面用相同颜色把每一列和对应的箭头连起来。

标准基向量

I =

\begin{matrix}1\\0\end{matrix}

\begin{matrix}0\\1\end{matrix}

第一列 → e₁第二列 → e₂

标准正交归一基

ortho: 正交：两个方向互相垂直，夹角是 90°。
normal: 归一：每个向量的模（长度）都是 1。
基: 两个独立的方向。分别伸缩再相加，就能到达任意一点，而且每个点的这对系数都是唯一的。

\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=x\underbrace{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}_{\mathbf e_1}+y\underbrace{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}_{\mathbf e_2}

沿着 $I$ 的每一列往下读：第一列就是 $e_1$ ，第二列就是 $e_2$ 。这是单位矩阵。把它当成变换，它让两个基向量都留在原位，因此所有点都保持不变。

I\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}

02改变两列，整个平面随之改变

在初始示例中，第一列让 $e_1$ 去往 $u=(2,1)$ ，第二列让 $e_2$ 去往 $v=(1,2)$ 。我们规定其他点仍然使用原来的两个倍数：例如，一份 $e_1$ 加一份 $e_2$ ，变成一份 $u$ 加一份 $v$ 。虚线箭头先标出目标，点击播放，就能跟随这同一个相加过程，看整幅图怎样移动。

先找出两个目标向量0%

动画进度0%

移动中的点

P'=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}

阴影面积 1

目标矩阵

A =

u=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}

v=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}

u 与 v 相互独立，可以作为一组新基。但它们并不垂直，长度也不是 1：基不一定是正交归一的。

跟随一个点

x 和 y 表示分别取多少份基向量。试试负数：那一步会朝相反方向走。

原来的 x · 第一条向量1

原来的 y · 第二条向量1

A\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=1\,\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}+1\,\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}

上式算出终点。图中的彩色实线表示一段位移，另一种颜色的虚线从这段的终点继续，表示加上第二段位移。两段合起来，就是同一个加法过程。

究竟是什么变了？

浅灰笛卡尔坐标轴是固定的尺子。我们主动移动点和彩色网格，尺子不动。示例中的 $P = (1, 1)$ 变成固定坐标轴上的 $P' = (3, 3)$ ；相对于新的基，这个像仍然是“一份 $u$ 加一份 $v$ ”。只给原地不动的点换一种坐标描述，是另一件事。

A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},\qquad A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}

这就是为什么两列能决定整个变换：任意向量都能写成原来两个基向量的倍数之和。线性变换保留这种加法和倍数关系。因此直线仍是直线（或退化成点），网格线保持平行或发生重合与退化，原点始终不动。

四种变换，同一个原理

彩色箭头仍对应矩阵的两列。阴影单位正方形让面积变化可见；圆让拉伸可见；字母 F 让镜像翻转可见。每个动画都从原图形出发，可以拖动进度条比较任意一刻。

旋转

每个点绕原点转过相同角度。圆仍是圆，两条基向量始终互相垂直，长度仍然是 1。

动画进度0%

R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}

目标角度 θ · 正数为逆时针90°

当前面积 1 ×当前角度0°

整个过程中，长度、角度和面积都保持不变。负角度表示顺时针旋转。

我们从两列构造旋转矩阵。单位向量就是长度为 1 的箭头。在单位圆上，从正水平轴转过 $\theta$ 后，点的水平坐标叫 $\cos\theta$ ，竖直坐标叫 $\sin\theta$ 。因此第一条基向量 (1,0) 会到达 ( $\cos\theta$ , $\sin\theta$ )。

第二条基向量原本比第一条多转了四分之一圈。两条都转同一个角度后，这个差仍然保留。逆时针转四分之一圈，会把向右变向上，把向上的位移变成向左。对 ( $\cos\theta$ , $\sin\theta$ ) 这样操作，就得到 (− $\sin\theta$ , $\cos\theta$ )。这两个落点分别成为矩阵的两列。

\begin{gathered}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}\\=x\begin{pmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}-\sin\theta\\\cos\theta\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}x\cos\theta-y\sin\theta\\x\sin\theta+y\cos\theta\end{pmatrix}\end{gathered}

我们可以计算检查长度是否不变。为缩短式子，记 $c=\cos\theta$ 、 $s=\sin\theta$ 。单位圆半径是 1，所以勾股定理给出 $c^2+s^2=1$ 。将两个新坐标分别平方，会得到符号相反的交叉项，它们恰好相消。

\begin{aligned}&(cx-sy)^2+(sx+cy)^2\\&=c^2x^2-2csxy+s^2y^2\\&\quad+s^2x^2+2csxy+c^2y^2\\&=(c^2+s^2)x^2+(c^2+s^2)y^2\\&=x^2+y^2\end{aligned}

长度的平方不变，取非负平方根后长度也不变。现在取两条箭头 $u=(a,b)$ 、 $v=(d,e)$ ，再检查夹角。点积是对应坐标乘积的和。把转动后的点积展开，两对交叉项恰好相消。

\begin{aligned}&(ca-sb)(cd-se)\\&\quad+(sa+cb)(sd+ce)\\&=c^2ad-csae-csbd+s^2be\\&\quad+s^2ad+scae+scbd+c^2be\\&=(c^2+s^2)ad+(c^2+s^2)be\\&=ad+be\end{aligned}

我们已经证明，转动坐标方向不会改变这个点积，也不会改变长度。把水平方向选为 $u$ 的方向。记两个长度为 $U$ 、 $V$ ，夹角为 $\varphi$ ，按照单位圆定义，此时 $u=(U,0)$ 、 $v=(V\cos\varphi,V\sin\varphi)$ 。点积就是 $U\times V\cos\varphi+0\times V\sin\varphi=UV\cos\varphi$ 。两条箭头非零时，才能除以 UV。

对两条非零箭头，点积除以两个长度的乘积，就是夹角的余弦：它测量一条单位箭头沿另一条方向的部分。分子、分母都没变，因此余弦不变，0 到 π 之间的夹角也不变。平行四边形的底边长度保留，高度是另一条边长乘夹角的正弦，也保留。因此底乘高得到的面积不变。

剪切

先看高度 $y=1$ 的一排网格点。若 $k=1$ ，这一排向右移动 1；高度 $y=2$ 的一排向右移动 2；横轴上的点因为 $y=0$ 而不动。一般地，水平位置从 $x$ 变成 $x+ky$ ，竖直位置仍是 $y$ 。我们就把这种按高度改变水平位置的变换叫作剪切。

动画进度0%

S(k)=\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}\quad\begin{cases}x'=x+ky\\y'=y\end{cases}

目标剪切系数 k1.5

当前面积 1 ×最终面积1 ×

底和垂直高度没变，因此面积始终是 1。角度和大多数长度会改变。

翻转 / 镜像

把竖直的 y 轴当成镜子。右变成左，高度不变。观察字母 F：它变成了镜像。

动画进度0%

F=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}\quad\begin{cases}x'=-x\\y'=y\end{cases}

终点才是镜像翻转。为了展示变化，动画把横向缩到 0，再向另一侧展开。中间压扁的那一帧既不是镜像变换，也不是旋转。

当前面积 1 ×最终面积1 ×

在终点，长度与面积不变，但方向的手性翻转。

拉伸与压缩

分别把横向和纵向距离乘上一个倍数。倍数不同时，圆会变成椭圆。小于 1 的正数表示沿那个方向压缩。

动画进度0%

D=\begin{pmatrix}s_x&0\\0&s_y\end{pmatrix}\quad\begin{cases}x'=s_xx\\y'=s_yy\end{cases}

横向倍数 sₓ2

纵向倍数 sᵧ0.65

当前面积 1 ×最终面积1.3 ×

面积乘上 $s_x \times s_y$ 。两个方向都变成 2 倍时，面积变成 4 倍，而不是 2 倍。

01用两个方向，定位平面上的每一个点

标准正交归一基

02改变两列，整个平面随之改变

目标矩阵

跟随一个点

究竟是什么变了？

四种变换，同一个原理

接下来想做什么？