一行与一列，相遇成积

01矩阵在移动什么？

02为什么取列，不取行？

给四个数分别命名，并把输入竖着写： $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}.$ 粗体 $\mathbf{x}$ 表示整个向量，普通的 $x$、$y$ 表示它的两个分量。竖着写成一列，就叫列向量。把这一列横着写成一行，叫作转置，记作 $\mathbf{x}^{T}=(x\ y)$。 为什么取 $A$ 的列？因为我们约定把两个基本箭头的新位置放在两列里，同时把输入写成列向量。因此，保留原来的两个倍数，就得到： $A\mathbf{x}=x\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}.$

每一列乘上相应倍数，得到两个向量。把它们相同位置的分量相加，就是输出向量。我们把这两步分别写出来。

看第一个输出 $ax+by$：它把 $x,y$ 与 $A$ 第一行的 $a,b$ 配对。第二个输出 $cx+dy$，则把同样的 $x,y$ 与第二行的 $c,d$ 配对。把相同位置的数相乘，再把乘积相加，就叫点积。例如，$(1,2)\cdot(2,1)=1\times2+2\times1=4$。若第一组数记作 $(u,v)$，第二组记作 $(s,t)$，就写成 $(u,v)\cdot(s,t)=us+vt$。所以，点积是计算刚才那份列组合的另一种办法。点积也有几何解释，这里只需要它的计算方法。

尺寸必须对得上：$A$ 有两列，$x$ 就必须有两个分量。$2×2$ 矩阵乘三分量向量没有定义；没有第三列可取。

03把 x 抬到 A 上方

我们继续计算刚才的 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$。输出从上到下的两个分量，分别记作 $b_1$、$b_2$。点击播放，也可以用前后箭头或步骤滑条逐步看。青色数字来自输入向量，标着 $\mathbf{x}$；其余数字来自 $A$。原来的列向量先抬起，展开成一行，放到 $A$ 上方。它的每个分量与高亮行的一个数配对，中间出现乘号。两个数靠拢，变成乘积；两个乘积再靠拢，变成总和，最后移入输出。处理下一行前，输入向量回来，方便再次使用。A 的每一行都留在原位，直到这一行的数字合并成乘积；完成两个输出后，再恢复原矩阵。暂停会停住当前动作，前后箭头和滑条可以查看每一步完成时的画面。这里的移动和转置只是为了看清计算；原来的乘法仍然是矩阵乘列向量。

第一行算出 $1\times2+2\times1=2+2=4$，第二行算出 $1\times3+2\times1=3+2=5$。把两个和从上到下放好，就得到 $\mathbf{b}=(4,5)$。

04左边的行向量：xA

如果把向量放在左边呢？对这里的 $2\times2$ 矩阵，左边若仍是 $2\times1$ 的列向量，尺寸就对不上：它只有一列，不能与 $A$ 的两行配对。因此，这一节把同样的两个数写成一行，并让 $\mathbf{x}=(x\ y)$ 表示这个行向量。逐个取出它的分量。第一个分量乘 $A$ 第一行，第二个乘第二行，再把两行相加：$$\mathbf{x}A=x(a,b)+y(c,d).$$$$x(a,b)=(ax,bx),\qquad y(c,d)=(cy,dy).$$$$\mathbf{x}A=(ax+cy,\;bx+dy).$$第一个输出把 $x,y$ 与第一列 $(a,c)$ 配对；第二个把它们与第二列 $(b,d)$ 配对，所以仍然可以用点积计算。我们相加的是两条同样长的行，因此输出也是一行。把输出行记作 $\mathbf{c}=(c_1\ c_2)$。下标从左到右数，分别表示第一个和第二个分量。

动画先把输入行向量竖起来，移到 $A$ 当前列左边，让每一对数左右相遇。$A$ 的各列留在原位，直到数字合并成乘积；两个乘积再上下合并，总和向下移入输出行。处理下一列前，输入分量回来；全部完成后，再恢复原矩阵和行向量。临时竖起来只是为了看清配对，原乘法中的输入仍是行向量。原来的乘法仍然是行向量乘矩阵。两次求和分别是 $1\times2+2\times3=8$、$1\times1+2\times1=3$，所以输出行是 $(8,3)$。到这里，左边是矩阵时，每一行给出一个和；右边是矩阵时，每一列给出一个和。接下来，把这两种读法合起来，就能计算两个矩阵相乘。

05两个矩阵相乘

设 $A$ 有 $m$ 行、$n$ 列，$B$ 有 $n$ 行、$k$ 列，把乘积记作 $C=AB$。先把 $A$ 第一行看成行向量。按照刚才的方法，它乘 $B$，会对 $B$ 的每一列给出一个输出。这 $k$ 个数，组成 $C$ 第一行。再对 $A$ 的每一行重复，因此 $C$ 有 $m$ 行、$k$ 列。如果只想找其中一个数，就选定它的行号 $i$ 和列号 $j$，记作 $C_{ij}$。$A$ 第 $i$ 行决定答案在哪一行；$B$ 第 $j$ 列决定它在这一行的哪个位置。把对应的数相乘，再相加：

大符号 $\sum$ 表示把这些项全部相加。$r$ 从 $1$ 数到 $n$，依次取出每一个配对位置。展开写，就是：$$C_{ij}=A_{i1}B_{1j}+A_{i2}B_{2j}+\cdots+A_{in}B_{nj}.$$若 $n=1$，就只有第一个乘积。例如，$C_{21}$ 用 $A$ 第 2 行和 $B$ 第 1 列。第 2 行确定输出的行，第 1 列确定这一行的第一个数。也可以按列看。把 $B$ 第 $j$ 列当作一个列向量，左边乘 $A$，就会对 $A$ 的每一行给出一个输出，恰好组成 $C$ 第 $j$ 列。逐列重复，就得到同一个矩阵。为什么中间的尺寸必须相同？$B$ 的每一列有 $n$ 个分量，分别作为 $A$ 的 $n$ 列的倍数。数量不同，就至少有一个数找不到配对。按行做点积时，缺少的也是这个配对。

中间的两个数量必须相同，外边的两个数量给出输出的形状。例如，$2\times3$ 矩阵乘 $3\times4$ 矩阵，得到 $2\times4$ 矩阵。即使两种顺序都有定义，结果也可能不同。这里 $(AB)_{11}=2\times1+1\times3=5$，而 $(BA)_{11}=1\times2+2\times3=8$。只要有一个位置不同，就说明 $AB\ne BA$。因此，矩阵乘法一般不满足交换律。