线性代数 · 测量向量围出的空间

行列式：从面积到体积

把一张照片横向拉到原来的两倍宽，面积也变成两倍，这一点容易想象。不过，把它推斜呢？边看起来变长了，面积却未必增加。只凭“看起来更大”判断，已经不太可靠了。

我们需要一种能算出来的比较。沿用矩阵与线性变换里的办法：矩阵是一张规定点怎样移动的数表，两列分别告诉我们两个单位方向的箭头移到了哪里。让这两个箭头围住一个边长为 1 的正方形。变换后，它通常成为平行四边形。原来面积是 1，所以新的面积就直接告诉我们：面积被放大或缩小了多少倍。

下面可以先改一列，看它拉动哪一条边；再把两条边拉到同一直线上。这个时候，边仍然存在，围住的面积却消失了。我们会解释怎样用 ad − bc 记录这些变化，也会分清面积的大小与方向的翻转。公式中的减号为什么必要，就藏在这张图里。

01为什么是 ad − bc？看面积如何保持不变

把两个向量的起点都放在原点，补上另外两条平行边，围出平行四边形。沿矩阵的列往下读： $u = (a, c)$ ， $v = (b, d)$ 。虚线分量标出每个字母表示哪一段水平或竖直位移。

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整个过程的面积5

ad − bc6 − 1 = 5

A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1\\1&2\end{pmatrix}

\mathbf u=\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}

\mathbf v=\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}

这里先选 a、b、c、d 为正且 ad > bc 的简单例子，让每一块面积都能直接看见。

h=d-\frac{bc}{a}

S=ah=a\left(d-\frac{bc}{a}\right)=ad-bc

这两次重排都是剪切：平行细条彼此滑动，细条本身没有被拉长。于是可以用最后长方形的面积，替代最初平行四边形的面积。细条只是帮助观察，变换作用于整个连续区域。

如果改用行向量 (a,b)、(c,d) 呢？把它们作为新的列，就相当于交换 b、c，这叫矩阵转置，记为 Aᵀ。套用刚才推得的二阶公式，得到 ad−cb。由于 cb=bc，它等于 ad−bc。因此行向量围出的形状可能不同，面积却相同。这里直接计算验证的是本课使用的二阶情形。

\begin{gathered}A^T=\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}\\\begin{aligned}\det A^T&=ad-cb\\&=ad-bc\\&=\det A\end{aligned}\end{gathered}

行列式表示有向面积。绝对值才是几何面积；正负号表示有序向量对 u、v 的方向。现在把 v 慢慢移到 u 所在的直线上，平行四边形越来越薄，最终面积变成零。

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det A5

几何面积 |det A|5

A=\begin{pmatrix}3&1\\1&2\end{pmatrix},\quad\det A=5

相互独立的向量能张开一个二维区域。随着两者趋于共线，垂直高度减小，而第一条向量保持不变。

\mathbf v=\tfrac12\mathbf u\quad\Longrightarrow\quad\det A=0

这就是线性相关：一个向量可以由另一个向量数乘得到。有一个零向量时也线性相关。非零时，从 u 沿较小夹角转到 v，逆时针为正，顺时针为负。负行列式并不代表几何面积为负。

\text{几何面积}=|ad-bc|

从同一原点出发，取三个向量；它们的各种和给出八个顶点，围成一个平行六面体，可以把它理解成歪斜的盒子。这三个向量是三阶矩阵的三列，行列式的绝对值就是盒子的体积。拖动模型可以从不同方向观察。

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uvwxyz

拖动旋转观察 · x、y、z 为固定参照坐标轴

det A6.12

几何体积 |det A|6.12

退化后的形状平面

A=\begin{pmatrix}2&0.5&0.4\\0&1.7&0.4\\0&0&1.8\end{pmatrix}

u · 第一列　v · 第二列　w · 第三列

保留相互独立的

u

、

v

，把

w

压入它们的平面，直到

w = 0.6u + 0.5v

。虽然没有任何两条向量平行，但三个向量整体线性相关：

w

没有带来第三个方向。

初始时，底面在 xy 平面内：底面积 $= 2 \times 1.7 = 3.4$ ，垂直高度 $= 1.8$ ，体积 $= 3.4 \times 1.8 = 6.12$ 。倾斜边的长度并不是垂直高度。

V=S_{\rm base}\,h=|\det A|