光速不变

假设车厢上的蓝衣观察者打开一盏朝前照的灯。在车厢上测量，光以 $c = 3.00 \times 10^{8}\ \mathrm{m/s}$ 离开灯。如果旧规则对光也像对走路的人那样成立，站台测到的就是 $c + v$。车厢以 $30\ \mathrm{m/s}$ 运动时，差别只有千万分之一，用秒表根本察觉不到，但对巧妙的实验来说并不算太小。

在 19 世纪，人们的预期更加明确。当时认为光是充满空间的以太中的波（光是什么那一页讲了这个故事），所以 $c$ 是光相对以太的速度，就像声速是相对空气的速度一样。一个以 $v$ 在以太中运动的观察者，测到和自己同向的光应该是 $c - v$，迎面而来的光是 $c + v$。地球以大约 $30\ \mathrm{km/s}$ 的速度绕太阳运行，所以它应该感受到「以太风」，光在某些方向上应该比另一些方向稍慢。

这么小的差别怎样才能测出来？迈克耳孙的想法用游泳者来理解最容易。两个游泳者在水中的速度都是 $c$，在一条水流速度为 $v$ 的河里比赛。一个顺流游 $L$ 再逆流游回来；另一个横渡同样的距离 $L$ 再游回来。谁赢？在下面试一试。

顺着河道游的人，顺流时相对河岸的速度是 $c + v$（水流帮了忙），逆流回来时是 $c - v$。时间等于距离除以速度，所以往返一次用时

为了把两个分数相加，我们给它们通分，公分母是 $(c - v)(c + v) = c^2 - v^2$。

横渡的人必须略微朝上游方向游，否则会被水流冲到下游去。相对水，他的速度是 $c$；水沿河道以 $v$ 流动；两者合起来必须正好指向对岸。这三个速度构成一个直角三角形，最长的边是 $c$，所以根据勾股定理，正对岸方向的速度是

回来的时候也一样，所以往返一次用时

因为 $\sqrt{c^2 - v^2}$ 比 $c$ 小，横渡的时间比 $2L/c$ 略长；顺流往返的时间带着更大的因子 $c^2/(c^2 - v^2)$，更长一些。横渡的人总是赢，赢的幅度随水流加快而变大。迈克耳孙意识到，在以太风中的光，进行的正是这样一场比赛。

在迈克耳孙干涉仪里，一束光遇到一面半镀银的镜子，被分成两半。一半沿着一条臂到达镜子再返回，另一半沿着与之垂直的另一条臂。两半光再合在一起，照到屏上。就像光那一页的双缝一样，合在一起的波会干涉：如果其中一半晚到一个完整的周期，明暗条纹看起来不变；如果晚到半个周期，明纹和暗纹就互换位置。所以条纹是一台极其灵敏的钟，能测出两条路径的用时差。

迈克耳孙和莫雷的臂长大约是 $L = 11\ \mathrm{m}$（光在几面镜子之间来回反射，使路径变得这么长），地球的速度是 $v = 3 \times 10^{4}\ \mathrm{m/s}$，所以 $v/c = 10^{-4}$。速度这么小，可以把两个时间化简。记 $\beta = v/c$。那么 $1/(1 - \beta^2)$ 非常接近 $1 + \beta^2$，因为 $(1 + \beta^2)(1 - \beta^2) = 1 - \beta^4$，而 $\beta^4 = 10^{-16}$ 小得完全可以忽略。同样，$1/\sqrt{1 - \beta^2}$ 非常接近 $1 + \tfrac{1}{2}\beta^2$，因为 $1 + \tfrac{1}{2}\beta^2$ 的平方是 $1 + \beta^2 + \tfrac{1}{4}\beta^4$。所以两个时间之差是

这大约是 $3.7 \times 10^{-16}\ \mathrm{s}$，也就是一百万分之一纳秒的三分之一左右。可是光自身的周期，对波长 $5.5 \times 10^{-7}\ \mathrm{m}$ 的绿光来说是 $\lambda / c = 1.8 \times 10^{-15}\ \mathrm{s}$，所以这个延迟大约是五分之一个周期。把整台仪器转过 $90°$，两条臂的角色互换，效果加倍：仪器转动时，条纹应该移动大约 $0.4$ 条，这很容易看出来。承载仪器的石板浮在水银上，所以可以平稳地转动。在模型里转动它，分别看有以太风和没有以太风时的情形。

1887 年 7 月，他们在中午和傍晚一次次地转动仪器。条纹的移动不到 $0.02$ 条，而且这点移动也在仪器抖动的范围之内：最多是以太理论预言的二十分之一，很可能根本没有移动。后来的改进实验，直到今天用激光和光学腔做的实验，把这个上限又压低了十亿倍以上。根本没有以太风。在运动的地球上，光沿每个方向的速度都一样。

会不会光只是带上发光物体的速度，就像从运动的车厢上扔出的球那样，所以 $c$ 总是相对光源而言的？这也能解释迈克耳孙和莫雷的结果，因为他们的灯是和他们一起运动的。两项观测排除了这种可能。许多恒星是成对的，互相绕转，所以总有一颗朝我们而来，另一颗远离我们。如果它们的光带着它们的速度，朝我们而来的那颗星发出的光就会追上它早先发出的光；经过到恒星那么遥远的距离，像会被搅乱，出现幽灵般的星和奇怪的轨道。可是这些轨道看起来完全规则。

一次直接的实验室检验是 1964 年在欧洲核子研究中心做的。一种叫中性 π 介子的粒子以 $0.99975\,c$ 的速度运动，它们会衰变成伽马射线的闪光，伽马射线就是波长很短的光。在 $30\ \mathrm{m}$ 的路程上测量，向前发出的伽马射线的速度是 $c$，在实验误差范围内与真空光速一致。它们并没有以 $c + 0.99975\,c$，也就是将近两倍的速度运动。光速也与光源的运动无关。

1905 年，爱因斯坦提出：把物理学建立在两个陈述之上。这个提议早于前面提到的后来的运动光源实验；那些实验是对理论的检验，不是 1905 年提出理论的历史原因。第一，相对性原理，从力学推广到全部物理学：物理定律在每一个惯性参考系，即没有加速、孤立自由物体在其中做匀速直线运动的参考系里都相同，所以在封闭的船舱里做任何种类的实验，都不能察觉船舱的匀速运动。第二，真空中的光速在每一个这样的参考系里都相同，都是 $c$，与光源和观察者的运动无关。

第二个陈述与我们在参考系那一页推导出的 $u = u' + v$ 相矛盾。那个推导用到了一个当时特意指出的假设：两个观察者可以使用同一个时间 $t$。如果光速对每个人都一样，这个假设就一定是错的，这一页剩下的部分说明它错在哪里。我们只用这两个陈述和普通的代数，看看会得出什么。

造一台最简单的钟：两面相对的镜子，相距 $h$，一个光脉冲在它们之间来回反射。光脉冲每回到下面的镜子一次，钟就走一下。在车厢上，光脉冲直上直下，走过的距离是 $2h$，所以走一下用时 $T_0 = 2h/c$。

现在从站台上看同一台钟，车厢以 $v$ 运动。在光脉冲向上走的这段时间里（按站台的钟是 $T/2$），上面的镜子向前移动了 $v\,T/2$，所以光脉冲必须沿一条斜线走，这条斜线是一个直角三角形的斜边，另外两条边是 $h$ 和 $v\,T/2$。根据爱因斯坦的第二个陈述，光在站台上也以 $c$ 运动，所以这条斜边的长度是 $c\,T/2$。由勾股定理

现在解出 $T$。两边减去 $(vT/2)^2$，提出公因式 $(T/2)^2$，除以 $c^2 - v^2$，开平方，最后用 $2h/c = T_0$：

因子 $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ 总是不小于 $1$。所以站台发现，运动的钟走一下，比它自己那台一模一样的钟走一下要花更长的时间：按照钟在其中运动的那个参考系来测量，运动的钟走得慢。这叫时间膨胀。这不是光钟的毛病：根据相对性原理，车厢上的每一种钟，包括走路人的心跳，都必须和光钟步调一致，否则车厢里的人就能察觉自己的运动。在模型里试试不同的速度，比较两台钟走的次数。

对日常速度来说，这个效应极其微小。$v = 300\ \mathrm{m/s}$ 时（一架客机），$v/c = 10^{-6}$，$\gamma$ 比 $1$ 只大二分之一个 $10^{-12}$。正因如此，旧的假设（所有人共用一个时间）才一直那么好用。1971 年，哈费勒和基廷把原子钟放在客机上绕地球飞行，测到的正是这样微小的差别。

大自然免费提供了高速的钟。宇宙射线在大气中发生碰撞，会产生一种叫 μ子的粒子。为做一次具体计算，假设它们在离地 $10\ \mathrm{km}$ 处产生，以 $0.995\,c$ 向下飞。真实 μ子的产生高度和速率并不都相同。静止的 μ子平均只能存活 $2.2\ \mu\mathrm{s}$ 就会衰变。在这段时间里，即使以接近光速运动，它也只能飞 $0.995 \times 3.00 \times 10^{8} \times 2.2 \times 10^{-6} \approx 660\ \mathrm{m}$。而飞到地面要用的时间长得多：

这大约是十五个寿命。每过一个寿命，存活的 μ子数就减少到原来的 $1/e$（$e \approx 2.72$，放射性衰变就是这样），所以只有大约 $e^{-15.2} \approx 2.4 \times 10^{-7}$，也就是千万分之几的 μ子应该到达地面。可实际上有相当大的比例到达了：μ子一直在穿过地面的每一平方米，也穿过你的身体。

时间膨胀解释了这一点。μ子内部那台决定它何时衰变的「钟」，从地面看是一台运动的钟，所以在地面上测到的寿命要长 $\gamma$ 倍：

现在这趟旅程只有 $33.5 / 22 \approx 1.5$ 个寿命，$e^{-1.52} \approx 0.22$：这个简化例子中，大约五分之一的 μ子到达地面。与真实探测结果比较时，还要考虑 μ子的能量分布和产生高度；这里的单个数是模型预言，不是引用的实测存活比例。在模型里切换两种预言看看。

第二个被推翻的，是「同时」对每个人意思都一样的想法。在车厢的正中间放一盏灯，让它闪一下。光以 $c$ 向前、向后传播。

在车厢上，车头和车尾离灯一样远，光向两边传播的速度也一样，所以闪光同时到达车头和车尾。

在站台上，根据第二个陈述，光也以 $c$ 向两边传播，而不是 $c \pm v$。可是在光传播的过程中，车尾迎着光向前移动，车头却背着光离开。所以光先到达车尾。在车厢上同时发生的两个事件，在站台上并不同时。两个观察者都没有错；「同时」取决于参考系，就像位置和速度一样。这正是「共用一个时间」的假设必须被放弃的原因。

既然 $u = u' + v$ 是错的，那什么是对的？默敏找到了一种只用这两个陈述和一些代数来回答的办法。在一节长度为 $D$（在站台上测量）的车厢尾部放一个球和一个闪光，同时向车头释放。闪光到达车头，被那里的镜子反射回来，在车厢的某处遇上球。它们相遇的地方会在地板上留下一个记号。这个记号是车厢上一个确定的位置，所以两个观察者对它离车头的距离占车厢长度的比例 $f$，必须意见一致。

在站台上计算：车厢以 $v$ 运动，球以 $w$ 运动。闪光追赶以 $v$ 离开的车头，相对车头的接近速度是 $c - v$，所以经过时间 $t_1 = D/(c - v)$ 到达车头。返回时，闪光和车头以 $c + v$ 分开，所以再经过时间 $t_2$，闪光在车头后面 $(c + v)\,t_2$ 处；当这个距离等于 $fD$ 时它们相遇。球一开始在车头后面 $D$ 处，它比车头快 $w - v$，所以经过总时间 $t_1 + t_2$ 后，它在车头后面 $D - (w - v)(t_1 + t_2)$ 处。令两个距离都等于 $fD$：

由第一个方程得到 $t_2 = fD/(c + v)$。把两个时间代入第二个方程，每一项都除以 $D$；再把含 $f$ 的项移到一边：

在车厢上，同一场比赛中 $v = 0$，球以 $w'$ 运动，所以同一个公式给出 $f = (c - w')/(c + w')$。两个比例必须相等。令它们相等并解出 $w$（用 $c = 1$ 的单位做代数最简单，最后再把 $c$ 放回去）：

这才是速度相加的真正规则。在三种情况下检验它。对日常速度，$w'v/c^2$ 极小：两个 $30\ \mathrm{m/s}$ 的速度给出 $w'v/c^2 = 10^{-14}$，所以 $w = w' + v$ 只有 $10^{-14}$ 量级的相对修正，旧规则一直是极好的近似。对闪光本身，令 $w' = c$：那么 $w = (c + v)/(1 + v/c) = c$，正如爱因斯坦的第二个陈述所要求的。对两个很大的速度，$w' = v = 0.5\,c$ 给出 $w = c/(1 + 0.25) = 0.8\,c$，而不是 $c$：把小于 $c$ 的速度相加，永远达不到 $c$。在下面试试别的值。

这两个陈述改变了我们原来以为理所当然的三件事：运动的钟走得慢，同时性取决于参考系，速度不是简单相加。同样的推理还说明运动的尺子在运动方向上变短，并导出著名的 $E = mc^2$；那些是后面页面的故事。没有改变的是相对性原理本身，现在它对光也成立，和对走路的人、球一样。