运动、引力与时间膨胀
01两只正常的钟，也会积累不同的时间
带一只钟出门旅行，家里留一只同样的钟。出发时把两只钟对到同一个读数；回来见面时，再把它们并排比较各自记录了多少。有些旅程里，两只都没有损坏的钟会不一致：**其中一只积累的经过时间比较少**。这个差别叫**时间膨胀**。
运动情况不同，或处在不同引力条件下的钟，可能记录不同的经过时间；两只钟都可以工作正常。怎样比较它们，需要说清每次测量从哪个事件开始、在哪个事件结束。有了明确的比较对象，我们就能计算运动怎样改变读数，也能研究引力的影响。这一页默认你已经读过「光速不变」：所有惯性观察者测得同一个真空光速，第 3 章会直接从这个起点出发。
钟通过数重复的物理事件来计时：钟摆摆动，电子振荡器重复变化，原子钟依据指定的原子跃迁计时。沿着一只钟自身旅程记录下来的时长，叫作固有时。“固有”表示属于这条路径，不是说它比另一只钟更正确。
待在自己的钟旁边，正常的局部过程仍然表现正常。仅仅因为你相对地球高速运动，心跳不会突然和手表失去一致。差别出现在我们比较完整路径，或者选定参考系、扣除信号传播影响来比较钟速的时候。
02晚收到影像，是另一个问题
远处的钟每秒闪一次光，光需要时间才能到达你。如果光源越来越远，后一次闪光还要多走一段路。因此接收间隔包含信号传播的影响，不能把移动时钟的原始影像直接当成时间膨胀读数。
一种清楚的比较是让两只钟在开始和结束时都相遇。另一种是使用同一个实验室中静止的一排钟，按明确的方法同步。这里采用的方法是把光发到远处的钟再反射回来，将反射时刻规定为发出与返回时刻的中点。在实验室的惯性参考系里，光在两个方向具有相同的速度。
参考系提供一套一致的位置与时间测量。惯性参考系的特征是：没有外力的自由物体保持匀速直线运动。第一次计算中，两个参考系彼此匀速运动，并且可以忽略引力影响。
03做一只看得见计时过程的钟
把两面镜子上下放置，让光脉冲在它们之间来回反射。用 表示镜间距， 表示真空光速。半程只走一个镜间距，距离等于速度乘时长，所以 。三角形记号 表示差或间隔， 表示这只钟自身的时间。两边除以 ，得到 。
我们使用两个物理起点：惯性观察者使用相同的物理定律，而且各自测得同一个真空光速 。它们是经过检验的狭义相对论基本原则。光不会按普通速度直接相加的方式，再从移动光源那里继承一份额外的横向速度。
保持镜间距，改变谁来测这段路
蓝色横条是两面镜子，金点是一束光脉冲，虚线保留它已经走过的路径。我们只检查向上的半程。在光钟参考系中，镜子不动；在实验室参考系中，两面镜子一起向右移动，光必须到达上镜的新位置。
三维仪器采用跟随光钟的视角，所以镜子保持静止，金色光脉冲在镜间移动。再下面的图可以在这个光钟参考系与实验室参考系间切换，两幅画面的光路都跟随同一个进度控件。
拖动可查看器材，也可以使用视角按钮。教学区的操作也会同步改变这里的状态。
04用三条边的关系求经过的时间
在实验室中，设半程经历 。光钟以速度 横移，所以橙色底边长为 。光仍以 传播，所以金色斜边长为 。蓝色竖边是横向于运动方向、保持不变的镜间距 。这里两个平行参考系采用相同的横向尺子尺度；空间方向的对称性和双方的对等性排除了彼此横向尺度不同的情形。更明确地说，若横向尺度变化为正因子 ，交换参考系只会反转运动方向，而空间对称性给出同一个 。来回转换必须恢复原长，所以 ，得到 。三条边因此组成直角三角形。
检查这个面积论证
四个相同的直角三角形放在大正方形四角。每个三角形的两条直角边叫作 、，最长边叫作 。四条最长边围成中间的正方形。切换突出显示的部分，看看我们减去了哪块面积，留下哪块面积。
大正方形边长为 ，所以面积是 。每个三角形占边长为 的长方形一半，四个共占 。内部各边都长 。中间图形的每个角也是直角：看大正方形一条边上两个三角形相接的点，中间图形的角夹在一个三角形的锐角和另一个三角形的锐角之间，三个角合起来正好铺满这条直边，是半圈。这两个锐角正是同一个直角三角形的两个较小的角。三角形三个内角的和也是半圈，可以过一个顶点画对边的平行线，把另外两个角沿平行线搬过来核对；去掉其中的直角，两个锐角合起来就是直角。半圈减去这个直角，剩下的仍是直角。因此中间的确是正方形，从大正方形中减去四个三角形就得到结果。
面积论证说明：直角三角形最长边的平方，等于另外两边平方之和，即 。在我们的光路里，最长边是金色斜边 ，两条较短的边是蓝色高度 与橙色底边 。把这三条边代入这个关系。
我们要解出实验室测量的时长。从两边减去横向位移的平方，含有这个时长的两项就到了同一边。提出共同的时长平方，除以它前面的系数，便能取平方根得到时长。经过的时长为正，因此取正平方根。
前面已经得到 。把它代入，再把重复出现的因子命名为 ，写起来更方便。对于有质量的钟，要求 ，平方根里面才为正。
当 ，速度比例的平方为 ；从 减去它得到 ；开平方得到 ；因此 。对于移动钟上的两个事件，实验室分配 的间隔时，移动钟自身记录 。光路更长而光速不变，就要求实验室测得更长的时长。
05为什么原子钟也会这样？
光钟把计算过程显示了出来，但狭义相对论讨论的是全部局部物理规律。把光钟与原子钟放在一起校准，并排携带。如果匀速运动本身就能改变它们彼此的快慢，封闭房间里的人便能通过比较两只钟找出一种特殊的绝对速度，这与我们采用的相对性原理矛盾。因此，沿同一路径运动的理想时钟会记录相同的固有时。
真实的钟还可能受到温度、机械应力，或改变内部机构的加速影响。实验需要控制这些仪器效应。这里的预言针对理想时钟，或者已经测量并修正这些干扰的真实时钟。
06双方都说对方的钟慢，会矛盾吗？
可以，前提是双方各自使用属于自己的一排同步静止时钟。两种比较选取的是不同的事件对。实验室选取旅行钟上的两个事件，用经过地点的两只实验室钟计时；旅行者则选取实验室某只钟上的两个事件，使用自己的同步办法。不同参考系对远处哪些事件同时发生，可以有不同判断。
比较的到底是哪几个远处事件？
蓝色竖线是一只实验室钟，橙色斜线是一只匀速旅行钟。它们从底部的相遇事件开始。固定后来的橙色事件，再选择谁的同步规则来挑选与它同时的蓝色事件。金点标出所选事件对。这是事件选择的示意图，没有数值比例。
这不是说“同一次相遇时，两只钟的读数都小于对方”。一次相遇只给出一对局部读数。若要清楚比较积累的时长，就安排两次相遇。某只钟离开又回来，它就不能全程保持在同一个惯性参考系中。我们把这段旅程真正画出来，而不把它误当作两段完全对等的惯性历史。
07旅行钟的完整计算
等两只钟重逢，再直接对表
蓝钟留在家中，橙钟向外运动后返回。横向表示离家的距离，单位是光年；向上表示家中参考系的时间，单位是年。两轴使用同一比例，金色虚线是光路，所以可以直接把旅行者的斜率与它比较。两条路径具有相同的出发和重逢事件。选择速度，再逐步查看旅程。这个理想化图忽略引力，也把转向时长近似为零。
默认速度下，家中参考系为去程和回程各分配 年。光年是光在一年中走过的距离，因此转向地点离家 光年。旅行钟每一程积累 年。把两段相加：旅行钟记录 年，家中时钟记录 年。
转向使两条历史不再对称，但它不是一个突然从钟里扣掉两年的神秘装置。在这个理想模型里，转向前后读数连续；年龄差来自各自整条路径上固有时的总和。真实的缓慢转向可以分成许多短到近似匀速的小段，每一段使用相同的局部规则，再把时长相加。
08引力提供了另一种钟速差别
把两只钟固定在不同高度，让它们既不绕行，也不相对引力源移动，钟速仍然可以不同。对于球对称、无自转引力源外部的静止时钟，在同一个静态坐标时间间隔里，半径较小处积累的固有时较少。“静止”需要支撑或火箭维持，这些钟并没有自由下落。
这种比较关心引力势以及完整的时钟路径，不是只看某处的力有多大。在弱静态引力场中，引力势差描述把单位质量缓慢举升到另一位置所需的能量。它比较两个位置；局部加速度则描述某一点的变化。两处局部引力加速度相同，不保证时钟关系相同；平直时空中的加速坐标系，也可以给出不同位置静止时钟的速率差。因此，仅凭钟速不同，还不能完整判断曲率。
把两只钟固定在不同的半径处
蓝钟固定在较大半径处，橙钟固定在较小半径处。每只钟记录十秒，指针转一圈。半径以稍后解释的史瓦西半径为单位。这里特意采用差别明显的强引力参数，不能把它当作普通楼房两层之间的真实差别。
09说清引力模型的起点，再推出钟速比
现在明确模型所用的几何定律：广义相对论中的外部史瓦西几何，描述孤立、球对称、无自转、无电荷的引力源，时钟位于物质外部且在视界之外。从爱因斯坦场方程求出这个几何是另一个问题；这里把它明确作为给定的物理模型，不宣称刚才的光钟三角形已经证明了它。
径向坐标 的定义是：这个半径处的球面大圆周长为 。定义引力源的长度尺度 ，其中 是引力常数， 是引力源质量。坐标 选成与极远处静止钟一致。对于固定位置的钟，给定几何规定下面这个关系，连接一个很小的坐标间隔 和钟自身的间隔 ；字母 表示小间隔。
消去两边共同的正数 ，取正平方根，再除以 。由于 固定，这个因子不变；把相继的小间隔加起来，有限时长也具有相同的比例。
在较低半径处使用一次，在较高半径处再使用一次。把两条式子相除，共同的坐标时长消去，剩下实际积累的两段钟时之比。
默认半径为 、。先算 与 ，相除得到 ，开平方约为 。因此在这个静止比较中，高处钟的十秒，对应低处钟的 秒。
10从放大的模型，回到真实测量
在地球附近，日常高度差引起的相对差别极小。NIST 与 JILA 在 2022 年报告了毫米尺度原子样品中测得的引力频率差。他们以极高精度比较原子的计时速率，并不是看到一根肉眼可辨地变慢的指针。这是实际时钟的实验证据，不只是几何教学图。
如果钟还在运动，就必须同时考虑运动和引力几何。需要说明它的路径，用一致的坐标系统累积固有时；不检查参考系与适用条件，就随意把不同“变慢因子”相乘，可能得到错误答案。总问题仍然是开头那一个：每只钟沿自己的完整旅程，到底记录了多久？
11练习区分三种比较
一只钟以 运动，实验室经过五秒，它记录多少？ ——展开思路与答案
选取移动钟上的同两个事件。速度比例的平方为 ，所以 ，平方根为 。因此 。这是经过参考系定义的比较，不是远处影像抵达的时间间隔。
为什么返回的旅行者不能把家中参考系的论证整个反过来？ ——展开思路与答案
在这个模型中，家中时钟留在一个惯性参考系内，旅行者却分别使用向外和向内运动的不同惯性参考系，它们对远方同时性的规定不同。完整路径不一样。把各段固有时相加，就得到同一次重逢时的读数，并无矛盾。
把两只静止钟放在相同半径，模型会给出什么？ ——展开思路与答案
分子与分母完全相同，相除为 ，平方根仍为 ，所以积累的时长相同。这核对了比较规则；它不表示引力场里所有钟都不论位置、运动而具有相同读数。
来源与模型的作用
本页的数学步骤可以逐步核对；物理起点和实验证据可以在下面的原始论文、研究机构说明和测量报告中核对。这里的教学图为本课绘制，不是时空的照片。
