为什么需要闵可夫斯基时空

01时空研究的是事件之间的几何

“在车站见”没有说什么时候，“三点见”没有说在哪里。一个**事件需要两者**。在房间里，**三个独立的数可以定位一次小闪光**：左右、前后、上下；**第四个数说明它什么时候发生**。**独立**的意思是，只知道三个位置数，还不能由此确定发生时间。

闵可夫斯基时空，是狭义相对论使用的平直时空几何。它的点是事件，每个事件既有地点，也有时间。惯性观察者采用这样的参考系：没有外力的自由物体保持匀速直线运动。不同的惯性观察者可以给同一事件分配不同的空间和时间坐标。他们仍然同意两件事：一种带正负号的间隔（第 8 章会写出它怎样由坐标算出来），以及哪些事件能够影响哪些事件。这一页接着「光速不变」和「时间膨胀」两页讲：光速对每个惯性观察者都相同，运动的钟记录的时间不同。下面从这个普通的约定出发，把这段话逐步建立起来。

把时间称为第四个坐标，不等于把它称为第四个空间方向。这里的维数统计的是确定事件所需的独立坐标数。稍后还会看到，时间进入测量规则的方式与空间坐标不同。数出四个，只是开始，并不是全部结论。

02用横向表示位置，用竖向表示时间

给一次闪光同时标上位置和时间

横向的一排位置表示一条直路，从选定的原点开始测量。所选的闪光发生在指定的位置和秒数。在路上找到那个位置，把记录移到对应的时间行，就得到图中的一个点。记录向上移动是为了表示时间，不是闪光真的向上运动。

横向：按选定街道单位记录的位置。竖向：秒数。闪光 1 与 2 地点相同；闪光 2 与 3 时间相同。这两种情况都不意味着它们是同一个事件。

为了让图容易读，我们暂时固定另外两个空间坐标，不把它们画出来。每个点表示一个短暂事件，不是完整的物体；同一物体的一串事件连成它的世界线：也就是它在图中的历史。物体在原地等待，位置不变而时间改变，所以世界线竖直；物体沿街运动，世界线便倾斜。

没有东西需要真的朝图纸上方移动。平常我们把温度画在日期上方，也不会把温度当成空间方向。时空图同样把非空间的量放在一个图形轴上；物理内容在测量之间的关系里。

03为什么时间轴上常写 $ct$ ？

横向距离可能以米计量，时间却以秒计量。为了在同一个几何规则中比较两者的作用，我们先把单位对齐。真空光速 $c$ 是距离除以时间，时间乘以 $c$ 就具有长度单位。我们把换算后的时间坐标写作 $q=ct$ 。这改变的是单位，不是时间的物理性质。

一光秒的定义就是 $c$ 乘以一秒。因此经过 $3\ \text{s}$ ，坐标 $ct$ 就是 $3$ 光秒。这不表示等待着的人已经在空间里走了三光秒，只是用一个普适速度换算时间标签。

从原点发出的光，在时间 $t$ 里走过距离 $ct$ 。沿我们保留的一个空间方向，两条光路满足 $x=ct$ 和 $x=-ct$ 。如果图上两轴采用相同的长度比例，它们就是同样陡的两条斜线。熟悉的光锥，起点就是这个距离、速度、时间的关系。

04用光区分哪些事件能连起来

一个信号来得及到达第二个事件吗？

第一个事件位于原点。横向是以光秒为单位的距离；竖向是 $ct$ ，使用同一种长度单位。一光秒就是光在一秒里走过的距离。金色边界表示向左与向右传播的光，蓝色区域表示能以低于光速的速度从原点到达的事件。用控件移动第二个事件。

位置 x / 光秒

3

时间坐标 ct / 光秒

5

类时:

s^2=5^2-(3)^2=16.00\ \text{光秒}^2

. 所需恒定速度:

v/c=x/(ct)=0.600

.

有足够时间让低于光速的旅行者到达，绿线在光边界内部。

为了在时间 $t$ 到达位置 $x$ ，匀速旅行者需要 $v=x/t$ 。两边除以 $c$ ，得到 $v/c=x/(ct)$ 。这个比例的绝对值小于一，便有低于光速的路径；等于一，直接连接是类光的；大于一，则需要超光速。把所有空间方向都加入，光的可能方向在时空图中形成光锥；这里显示的是它的一个切面。

对于未来事件，比较 $(ct)^2$ 与 $x^2$ 。平方去掉左右方向的正负号，却不改变大小的比较。两者之差在锥内为正，光边界上为零，锥外为负；我们分别称它们为类时、类光和类空间隔。“类空”不表示事件没有时间坐标，而是描述两个事件之间的这种关系。

05仅仅加一根时间轴，还不是闵可夫斯基几何

牛顿力学也能画位置与时间的图。狭义相对论改变的是惯性观察者怎样联系彼此的测量：即使参考系在相对运动，大家仍测得同一个真空光速。旧规则“所有速度都减去参考系速度，时间完全不变”不能同时保持向左和向右的光速。

例如旧规则会写成 $x^{\prime}=x-vt$ 、 $t^{\prime}=t$ 。代入向右光路 $x=ct$ ，得到 $x^{\prime}=(c-v)t^{\prime}$ ，新参考系便会测出 $c-v$ ，而不是 $c$ 。所以需要一个同时改变位置和时间的转换。下面我们把它求出来，而不是先假定某个间隔不变。

06一小步一小步构造坐标变换

使用 $q=ct$ 与 $\beta=v/c$ ，因此 $\beta$ 是带方向正负号的光速比例。撇号表示移动参考系中的数字。选择两原点在各自时钟为零时相遇。我们假定空间与时间均匀、惯性运动保持匀速直线，并使用相同的校准。这些假定要求变换为线性的：不管从哪里、什么时候开始，增加相同的坐标量，都应得到相同的变换后增量。非线性规则会让换算取决于地点或时刻。

移动原点走过 $x=vt=\beta q$ ，而它自己的坐标必须为 $x^{\prime}=0$ 。满足这个零点条件的线性表达式是 $x^{\prime}=A(x-\beta q)$ ，比例 $A$ 尚待确定。时间的最一般线性表达式写成 $q^{\prime}=Dq+Ex$ 。现在要求两个方向的光都保持光速，以此求出系数 $D,E$ 。

向右的光满足 $x=q$ ，新坐标必须满足 $x^{\prime}=q^{\prime}$ 。代入并消去 $q$ ，得到第一式。向左的光满足 $x=-q$ ，要求 $x^{\prime}=-q^{\prime}$ ，得到第二式。两式相加求 $D$ ，第一式减第二式求 $E$ 。

\begin{aligned}D+E&=A(1-\beta)\\D-E&=A(1+\beta)\\2D&=2A\quad\Longrightarrow\quad D=A\\2E&=-2A\beta\quad\Longrightarrow\quad E=-A\beta\end{aligned}

于是得到 $q^{\prime}=A(q-\beta x)$ 。为了求 $A$ ，交换两个参考系的角色。根据相对性原理，双方使用同样的尺度规则；反转空间方向不改变尺度，所以 $A(-\beta)=A(\beta)$ 。反向的空间转换因此是 $x=A(x^{\prime}+\beta q^{\prime})$ 。把刚才两个表达式代入。

\begin{aligned}x&=A\big[A(x-\beta q)+\beta A(q-\beta x)\big]\\&=A^2\big(x-\beta q+\beta q-\beta^2x\big)\\&=A^2(1-\beta^2)x\end{aligned}

这个关系必须对每个 $x$ 成立，所以乘在 $x$ 前面的因子必须为一： $A^2(1-\beta^2)=1$ 。除以正数 $1-\beta^2$ ，再取保持时间方向及零速度尺度的正平方根。得到的因子命名为 $\gamma$ 。

\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}},

x^{\prime}=\gamma(x-\beta q),

q^{\prime}=\gamma(q-\beta x)

这就是沿一个空间方向的洛伦兹变换。注意时间公式中的 $-\beta x$ ：时间坐标的变化也与位置有关。这正是不同参考系把远处事件归入不同“现在”的原因。把 $q^{\prime}$ 除以 $c$ ，还可得到同样的表达 $t^{\prime}=\gamma(t-vx/c^2)$ 。

07看坐标改变，而事件留在原处

事件不变，只改变惯性参考系

灰格属于原实验室：横向是 $x$ ，向上是 $q=ct$ 。移动观察者从原点出发，沿蓝实线走；这是他的时间轴，上面满足 $x^{\prime}=0$ 。过原点的橙虚线是他的空间轴，满足 $q^{\prime}=0$ 。可以显示的另一条橙线经过所选事件，它包含移动观察者认为与之同时发生的事件。绿点是所选事件。两轴采用相同比例，所以金色虚线对角线就是经过原点的光路。拖动滑块时观察蓝轴和橙轴：它们向同一条金色对角线靠拢，靠拢的程度相同。

参考系速度除以光速

0.6

\gamma=1.250

;

x=3,\ q=5

;

x^{\prime}=0.000,\ q^{\prime}=4.000

.

q^2-x^2=16

;

(q^{\prime})^2-(x^{\prime})^2=16.000

.

点没有移动：拖动滑块没有创造一个新事件。改变的是坐标标签，以及被归入同一个“现在”的远处事件。带正负号的间隔保持不变。对于类空事件对，换参考系甚至可以改变时间坐标的正负。

默认事件为 $x=3$ 、 $q=5$ ，取 $\beta=0.6$ ，得到 $\gamma=1/\sqrt{1-0.36}=1.25$ 。所以 $x^{\prime}=1.25(3-0.6\times5)=0$ ， $q^{\prime}=1.25(5-0.6\times3)=4$ 。移动观察者在自己的空间原点到达这个事件。当长度单位为光秒时，他的时间为四秒；原实验室则分配五秒及三光秒的位置。

为什么彩色坐标轴会倾斜？移动时间轴上的点满足 $x^{\prime}=0$ ；根据刚推出的变换，这就是 $x=\beta q$ 。它的空间轴满足 $q^{\prime}=0$ ，所以 $q=\beta x$ 。与所选事件同时的事件保持 $q^{\prime}$ 不变，因此满足 $q-\beta x=\text{常数}$ 。彩色直线都由这些式子画出，不是把一张纸上的直角坐标轴普通旋转一下。

08找到所有这些参考系共同保留的量

坐标不同，我们就问：有没有一种组合在转换后仍然相同？光边界上两个长度平方恰好相等，所以试着考察差 $q^2-x^2$ 。代入变换，展开两个平方，并把混合项保留到真正消去的那一步。

\begin{aligned}&(q^{\prime})^2-(x^{\prime})^2\\&\quad=\gamma^2\big[(q-\beta x)^2-(x-\beta q)^2\big]\\&\quad=\gamma^2\big[q^2-2\beta qx+\beta^2x^2\\&\qquad\quad-x^2+2\beta xq-\beta^2q^2\big]\\&\quad=\gamma^2\big[(1-\beta^2)q^2-(1-\beta^2)x^2\big]\\&\quad=\gamma^2(1-\beta^2)(q^2-x^2)\\&\quad=q^2-x^2\end{aligned}

最后一步使用 $\gamma^2=1/(1-\beta^2)$ ，两个因子相乘为一。这个带正负号的量 $s^2=q^2-x^2$ 叫作时空间隔的平方；这里采用时间项为正的符号约定。 $s^2$ 是传统记号，在类空间隔时可以为负，因此它并不总是一个普通实数长度的平方。

对于任意两个事件，用它们的坐标差： $\Delta x=x_2-x_1$ 、 $\Delta t=t_2-t_1$ 。变换是线性的，因此相同代数步骤仍然成立。三个空间方向的距离平方为什么是 $\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2$ ？水平面内的直角三角形给出距离平方 $\Delta x^2+\Delta y^2$ 。这段水平距离与竖直差构成另一个直角三角形，所以还要加上 $\Delta z^2$ 。完整规则因此写成下面这样。

检查这个面积论证

四个相同的直角三角形放在大正方形四角。每个三角形的两条直角边叫作 $a$ 、 $b$ ，最长边叫作 $d$ 。四条最长边围成中间的正方形。切换突出显示的部分，看看我们减去了哪块面积，留下哪块面积。

减去面积：

4\times (ab/2)=2ab

。

大正方形边长为 $a+b$ ，所以面积是 $(a+b)^2$ 。每个三角形占边长为 $a,b$ 的长方形一半，四个共占 $4(ab/2)=2ab$ 。内部各边都长 $d$ 。中间图形的每个角也是直角：看大正方形一条边上两个三角形相接的点，中间图形的角夹在一个三角形的锐角和另一个三角形的锐角之间，三个角合起来正好铺满这条直边，是半圈。这两个锐角正是同一个直角三角形的两个较小的角。三角形三个内角的和也是半圈，可以过一个顶点画对边的平行线，把另外两个角沿平行线搬过来核对；去掉其中的直角，两个锐角合起来就是直角。半圈减去这个直角，剩下的仍是直角。因此中间的确是正方形，从大正方形中减去四个三角形就得到结果。

\begin{aligned}d^2&=(a+b)^2-2ab\\&=a^2+2ab+b^2-2ab\\&=a^2+b^2\end{aligned}

s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2

对于平行且相同校准的坐标轴，沿 $x$ 方向的变换保持横向坐标 $y,z$ 不变，所以刚才的消去证明完整表达式在这种变换下不变。横向不变也可以核对：设可能的横向尺度因子为正数 $K$ ，双方对等与空间方向对称性使反向转换具有同一个因子。来回转换给出 $K^2=1$ ，所以 $K=1$ 。空间旋转保持三个空间平方之和。组合空间旋转与这样的变换，就能处理任意方向的相对惯性运动。这个测量规则叫作闵可夫斯基度规；“度规”就是根据坐标差计算间隔的规则。

09为什么时间不是第四个空间轴？

在普通空间里，互相垂直的各方向距离平方以相同符号相加；这里的时间项却与三个空间项符号相反。把所有符号一起反过来，也是常见约定，但“一项与另外三项不同”仍然保留。洛伦兹计算解释了为什么这种规则在更换观察者后不变，单凭图上多画一根竖轴不能建立这个结论。

这个符号差别让光具有零间隔（即使在不同事件之间），区分事件的因果类别，并使钟的累计时长依赖路径。普通空间旋转把左右与上下混合，同时保持平方和；更换惯性观察者把空间与时间混合，同时保持带正负号的差。两种变换不是同一种操作。

对于未来的类时间隔， $q>0$ 且 $|x|<q$ 。公式给出 $q^{\prime}=\gamma q(1-\beta x/q)$ 。因为 $|\beta|<1$ 、 $|x/q|<1$ ，乘积 $\beta x/q$ 严格处于负一和一之间。因此 $1-\beta x/q>0$ ， $q^{\prime}$ 仍为正。惯性观察者不能仅靠换参考系，就颠倒原因与其低于光速传播的结果的先后。

“时间是一个维度”描述事件坐标及其几何；它不是可以随意向过去行走的证明，也不是对记忆为何指向过去的完整解释。这些是不同的问题。

10从间隔找回旅行钟的读数

对于一段笔直的类时旅程，选择跟钟一起运动的参考系。起终点事件具有相同空间位置，所以 $\Delta x^{\prime}=0$ ；它的坐标时长就是钟的固有时 $\Delta\tau$ 。在这个参考系里，间隔为 $s^2=c^2\Delta\tau^2$ 。利用不变性，把它与实验室表达式相等。

\begin{aligned}c^2\Delta\tau^2&=c^2\Delta t^2-\Delta x^2\\\Delta\tau^2&=\Delta t^2-\frac{\Delta x^2}{c^2}\\\Delta\tau&=\Delta t\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}},\qquad v=\frac{\Delta x}{\Delta t}\end{aligned}

两边除以 $c^2$ ，空间位移项就带上了 $1/c^2$ 。代入 $\Delta x=v\Delta t$ ，提出共同的 $\Delta t^2$ ，取正平方根便得到经过的时长。对于五秒后出现在三光秒处的事件，固有时为 $\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4$ 秒。参考系实验里的读数因此有了物理意义：一只钟从原点匀速直达那个事件，实际记录的就是这段时长。

如果路径不断改变速度，只看端点的这一步计算，并不等于整段经历时间。把路径切成很短、近似笔直的小段，分别算出每段为正的固有时，再相加；分得越来越细，就得到连续路径的值。两条路径可以有相同端点，却积累不同总时长。端点间隔与任意路径上经历的时长互相关联，却不能随便当作同一个数。

11定义里的“平直”还说明了什么？

平直不表示每条世界线都笔直，也不表示删除了时间；它表示几何没有时空曲率。在标准惯性坐标里，同一套闵可夫斯基测量规则适用于整片区域。加速物体仍然可以在这种平直几何里具有弯曲世界线，就像汽车可以在平坦道路上转弯。

广义相对论使用更一般的几何。在足够小的自由下落区域里，闵可夫斯基几何提供局部近似；跨越较大弯曲区域时，则需要随位置改变的度规。因此，本课为弯曲时空提供了钟、光锥和事件的局部语言，并不是说所有引力情形整体上都是闵可夫斯基时空。

12检查这些几何关系允许你得出什么

两个事件相隔四光秒、两秒，普通信号来得及连接它们吗？ ——展开思路与答案

所需速度是光速的 $4/2=2$ 倍，带符号间隔为 $2^2-4^2=4-16=-12$ 光秒平方，所以它们类空分离。不同惯性参考系可以对它们的先后给出不同判断，却没有颠倒普通因果链，因为这样的因果链本来就来不及连接它们。

时间独立于三个位置坐标，为什么仍不是另一个空间方向？ ——展开思路与答案

独立性数的是确定事件所需的坐标；它们的物理性质由测量规则与允许的变换决定。时间在度规里具有相反符号，所以产生光锥以及类时事件的因果先后。四个平方项都为正的普通四维欧几里得空间，具有不同的几何。

光线两端的间隔为零，表示发射和接收是同一个事件吗？ ——展开思路与答案

不是。非零的时间项和空间项在带符号规则中抵消：例如一秒与一光秒对应 $1^2-1^2=0$ 。坐标仍然区分两个事件。光子没有惯性静止参考系，因此不能假装放一只正常时钟在光子旁静止，再用这种说法解释它。

来源与模型的作用

本页的数学步骤可以逐步核对；物理起点和实验证据可以在下面的原始论文、研究机构说明和测量报告中核对。这里的教学图为本课绘制，不是时空的照片。