参考系
返回物理目录坐在一列刚刚驶出车站的火车里向窗外看，有那么一会儿，你会觉得自己没有动，是站台在往后退。两种说法听起来都有道理：和站台相比，你在动；和你相比，站台在动。那么，到底是谁在动呢？
物理学在回答这个问题之前，会先问另一个问题：和什么相比？力学里写下的每一个位置、每一个速度、每一条路径，都是某个人从某样东西出发量出来的。这一页我们从最简单的问题开始，也就是一个物体在哪里，然后一步一步地看：从一个观察者换到另一个观察者时，哪些东西会变，哪些不会变。所有的事情都发生在同一个小车站里：一个站台、轨道上的一节平板车厢，还有几个人。这样，你随时都能看到那些数字描述的是什么。
它在哪里
我们先从站台上的那只手提箱说起。假如有人问：它在哪里？你可以说「在路灯旁边」，也可以说「在长椅前面几步」，或者「在我前面」。这些回答都行，而且每一个都提到了另一样东西：路灯、长椅，或者你自己。注意，要说出手提箱在哪里，就一定要找一样东西来和它比较。就连「在这儿」，也是悄悄地拿你自己作比较。
「附近」「几步」这样的说法在日常生活里够用，但物理学需要数字，这样两个人才能互相核对测量结果。要把一个位置变成一个数字，需要做三个选择。第一，选一个起点，叫作原点：在这个地方，数字是零。第二，规定哪个方向算正，相反的方向就算负。第三，选一个长度单位，比如米。模型里站台的边缘画着一把尺子，每一段长 1 米，橙白相间，你可以直接数出有几米。
现在试一试。选择钟、路灯或者长椅作为原点，再选择哪个方向算正。橙色小旗标出原点，站台上的橙色箭头指向正方向。图下面画的尺子用数字重复了同样的选择，表格给出每样东西对应的数字。注意看手提箱的数字怎样变化。
橙色小旗：原点 · 橙色箭头：正方向 · 拖动可以转动视角
| 物体 | 位置 |
|---|---|
| 钟 | |
| 路灯 | |
| 手提箱 | |
| 长椅 |
以路灯为原点、以车厢前进的方向（向右）为正时，手提箱在 ：在路灯右边第七段的末端。以长椅为原点时，它在 ，因为它在长椅左边 3 米，也就是在负的一侧。以钟为原点时，它在 。钟到路灯是 5 段，方向向右；路灯到手提箱是 7 段，方向也向右。两段接起来，。如果把正方向倒过来，所有的正负号都会翻转。可是手提箱根本没有动。变的只是我们对它的描述，因为我们改变了原点或正方向。每次写下一个位置，都要同时说明它是从哪里量起的。
我们是怎么得到 的？沿着尺子从路灯走到手提箱，位移是 。这段路也可以经过长椅：从路灯到长椅的位移是 ，从长椅到手提箱的位移暂时还不知道。两段位移加起来必须同样是 ，所以不知道的那一段是 。负号说明第二段要往回走，朝路灯的方向。沿同一直线的分段位移可以相加；后面讨论运动的车厢时，我们还会用到这个办法。
以钟为原点、以车厢前进的方向为正，长椅在哪里？
一把尺子和一个钟
描述运动还需要一样东西。运动的意思是位置随着时间改变，所以还要说清楚每个位置是在什么时候测量的。为此需要一个钟，而且同样要选一个零点：我们把某一时刻叫作 。站台上的钟就是我们的钟。这一页的每个实验里，它的秒针都跟着图旁边显示的时间 走。
现在可以给这一整套选择起个名字了。一样被我们当作静止的东西（这里是站台），加上在它上面标出的原点和正方向，再加上长度单位和一个钟，合起来叫作参考系。在一个参考系里写下的位置和时刻，叫作这个参考系里的坐标。这一页里，站台参考系用的是那把橙白相间的尺子。很快我们还会加上第二个参考系，它属于那节车厢。
- 被当作静止的东西
- 站台
- 原点
- 路灯（橙色小旗）
- 正方向
- 车厢前进的方向（橙色箭头）
- 长度单位
- 米（尺子上的一段）
- 钟
- 站台上的钟，显示每个实验的时间
说明两点。第一，我们的尺子只沿着轨道方向测量。这一页的大部分内容这样就够了；但要描述站台上任意一点的位置，还需要一把横着的尺子和一把竖直向上的尺子，也就是三个数。我们只在第 7 章用到一次高度。第二，参考系里不一定要有人。这一页说的「观察者」，只是「用站台的尺子和钟来测量」或者「用车厢的尺子和钟来测量」的简便说法。
运动与速度
现在让车厢动起来。轨道上的平板车厢沿着边缘画着自己的尺子，蓝白相间，后面会用到。现在先看它的尾端，也就是竖着蓝色柱子的地方。按下播放，或者拖动时间。图下面站台的尺子显示，在钟上的这个时刻，车厢尾端在哪里；表格列出了每个整秒时的读数。
看车厢尾端的蓝色柱子
- 尾端现在
| 尾端 | |
|---|---|
每过一秒，车厢尾端在站台的尺子上就多走 。在每一段相等的时间里都走过相同距离的运动，叫作匀速运动。要用一个数说明它走得多快，就用物体走过的距离除以所用的时间。从表格里取两个读数：在 时，尾端在 ；在 时，它在 。
符号 （希腊大写字母 delta）读作「……的变化」。上面的表里，位置从 变到 ，变化是 ，写作 ；位置的变化也叫位移。时间从 变到 ，变化是 ，写作 ，也就是时间间隔。两者之比就是速度，单位是米每秒，写作 ，因为我们是用米除以秒。位置带有正负号，所以速度也带有正负号。如果车厢往另一个方向开， 就会比 小，那么 和速度都是负的。正负号告诉我们方向，数值大小告诉我们快慢。因为这是匀速运动，取别的两个读数也会得到同样的结果：从 到 ，尾端从 走到 ，，还是一样。如果运动不是匀速的，同样的除法得到的是所选这段时间内的平均速度；要描述一直在变的速度，就要取很短的时间间隔，第 9 章会这样做。
现在值得问一个问题：速度和原点放在哪里有关吗？在上面的实验里选长椅作为原点。每个读数都会小 10 米，因为长椅在尺子上离路灯 10 米：，。位移是 ，和原来一样。这不是巧合。把新原点到路灯的距离记作 ，那么新的读数是 和 ，它们的差是
出现了一次负号、一次正号，所以抵消了。移动原点，会让每个位置都平移同样的量；而两个位置的差感觉不到这种平移。所以位移和速度与原点放在哪里无关。请记住这一点，因为接下来几章要做的事情看起来相似，其实很不一样：我们不再把原点挪到站台上的另一个地方，而是把它放到一个运动着的东西上。
一节匀速运动的车厢，在 时尾端在 ，在 时尾端在 。它的速度是多少？
两个观察者
现在，一个带绿色标牌的人在车厢上朝车头方向走，同时车厢沿着站台前进。有两个人在看。带橙色标牌的人站在站台上；带蓝色标牌的人站在车厢上，靠近车头。蓝色标牌的观察者用车厢上蓝白相间的尺子测量，这把尺子从尾端的蓝色柱子开始；橙色标牌的观察者用站台上橙白相间的尺子测量。为了把两种数字区分开，用车厢的尺子量出的位置，我们在字母右上角加一个小撇，写作 （读作「x 撇」）；用站台的尺子量出的位置，就写作 。这个小撇只是一个标记，意思是「在车厢上测量的」。
摄像机可以站在站台上、在橙色标牌的观察者旁边，也可以跟着车厢一起移动，就好像用一根长杆固定在车厢上。在两者之间切换，然后播放这段运动。再试试小圆点：每过一秒，就在站台的尺子旁边、正对着走路人沿轨道所在位置的地方，画一个橙色圆点；同一时刻，在车厢地板上车厢尺子的旁边、正对着他在车厢上所在位置的地方，画一个蓝色圆点。橙色圆点画在哪里就留在哪里，蓝色圆点画上去以后跟着车厢一起走。
绿色：走路的人 · 橙色：站台上的观察者 · 蓝色：车厢上的观察者
- 走路的人，站台尺子
- 走路的人，车厢尺子
从站台上看，走路的人向右走得很快：数一数尺子的格子，你会发现橙色圆点之间相隔 。从车厢上看，他走得很慢：蓝色圆点之间相隔 ，而往后滑的是站台、路灯和栅栏。两种看法都没有错，它们是用两把不同的尺子对同一个运动作出的两种描述。接下来两章要回答的问题是：这两种描述之间有什么联系？能不能从一种算出另一种？
在某一时刻，走路的人在站台尺子上的 ，在车厢尺子上的 。哪种说法正确？
从一把尺子换到另一把
我们先把两把尺子安排清楚。站台的尺子以路灯为零点，车厢的尺子以车厢尾端的蓝色柱子为零点。在车厢尾端经过路灯的那一刻，我们让钟从 开始计时，所以在这一刻，两个零点在同一个地方。车厢沿着站台匀速前进，速度是 ；在我们的实验里 。
在时刻 ，车厢的零点在哪里？它从路灯出发，每秒走 米，所以 秒以后走了 米。因此在站台的尺子上，车厢尾端在 。例如在 时，它在 。
现在看走路的人。假设在时刻 ，蓝色标牌的观察者在车厢的尺子上读到他在 。橙色标牌的观察者读到的是多少？我们可以用第 1 章的分段办法。从路灯到车厢尾端的位移是 ；从车厢尾端到走路的人的位移是 ，因为车厢的尺子从尾端开始量。两段位移相加，就得到从路灯量起的位置：
例如在 时，实验里走路的人在车厢尺子上的 ，车厢尾端在站台尺子上的 ，所以站台的尺子读到 。拖动下面的时间，在其他时刻也核对一下：橙色的一步是 ，蓝色的一步是 ，两步合起来正好到达走路的人。
也可以反过来。在这条规则的两边同时减去 ，就能从站台的读数得到车厢的读数：
这两行就是参考系之间的全部换算规则，前提是一个参考系相对另一个匀速运动，并且两个零点在 时重合。它叫作伽利略变换，以伽利略命名，他最早仔细讨论过运动的参考系。规则里藏着一个假设：两个观察者用的是同一个时间 ，读自同样准确的钟。对日常的速度来说，这一点已经被检验得非常充分，以至于我们几乎注意不到自己在作这个假设；最后一章会说明它最终在哪里失效。
和第 3 章比较一下。把原点挪到长椅，会让每个读数平移同样固定的量，10 米。换到车厢参考系，会让每个读数平移 ，而这个量随着时间不断增大。正是这个不断增大的平移，让两个观察者看到不同的运动，这也是下一章的内容。
车厢以 前进，两个零点在 时重合。在 时，一位乘客在车厢尺子上的 。他在站台尺子上的哪里？
速度相加
现在可以解释第 4 章里的圆点了。这一段里，带撇的字母都是在车厢上量的： 是位置， 是速度；不带撇的 、 是在站台上量的； 是车厢自己的速度。在实验里，走路的人从 出发，沿着车厢以 行走：用车厢的尺子测量，他的速度是 。站台测到的速度是多少？
我们跟着走路的人看一段时间，从 到 ，分别用两把尺子测量位移。在车厢的尺子上，他从 走到 ，在 内位移是 ，也就是 ，和设定的一样。对站台的尺子，我们在两个时刻分别使用上一章的规则：
站台测到的位移 10 米由两部分组成：走路的人沿着车厢走的 4 米，以及这 4 秒里车厢自己沿着站台走的 6 米。把两部分都除以同样的 4 秒，就得到两个速度，所以速度直接相加。用上面的数字再看一遍：站台看到 10 米，其中 6 米来自车厢，4 米来自走路的人；除以同样的 4 秒，就是 。下面的字母只是把同一件事写一遍，看不懂可以跳过：
两边同时除以 ，每个位移就变成了一个速度。这里 是在站台上测到的走路人的速度， 是在车厢上测到的走路人的速度， 是在站台上测到的车厢的速度。用话来说：相对站台的速度，等于相对车厢的速度，加上车厢相对站台的速度。
用滑块试试别的速度。图下面的箭头表示每样东西在一秒内走多远：橙色箭头是车厢的 ；蓝色箭头从橙色箭头的尖端画起，是走路的人沿着车厢的 ；绿色箭头是从站台上看到的总速度 。
橙色圆点：在站台上 · 蓝色圆点：在车厢上，每秒一个
试一个负的 ：走路的人转过身，朝车尾走。当 、 时，站台看到 ：仍然向前，只是很慢。再把 设成 ，那么 ：他沿着车厢稳稳地走着，却一直停在站台的同一米旁边。从站台上看，他像在原地踏步；从车厢上看，他就是在普通地走路。
你也许早就不知不觉地用过这条规则：在机场的自动人行道上走路，或者在有水流的河里划船。它太熟悉了，看起来理所当然。不过还是请记住它，因为在最后一章，我们会遇到一样不服从它的东西。
车厢以 前进。一位乘客相对车厢以 朝车尾走。站台测到乘客的速度是多少？
路径属于参考系
到目前为止，所有东西都沿着轨道运动。现在加上高度。走路的人站在车厢上不动，把球竖直向上抛出，再接住；同时车厢以 匀速前进。测量高度要用第三把尺子，竖直向上，零点在车厢地板的高度。站台和车厢地板一样高，车厢也不会上下移动，所以两个观察者的高度尺子从不相互滑动：在每一时刻，两人测到的球的高度都一样。
先从车厢上看这次抛球。球上升、变慢、停一下，再落回手里。它的路径是一条竖直的直线：在车厢的尺子上，它始终在 。再从站台上看。球同样地上升、下落，但与此同时它还沿着轨道前进，路径是一条拱形曲线。在飞行过程中，每隔相等的时间留下一个圆点，一共九个，把两条路径都记录下来。
播放速度约为实际的三分之一 · 橙色圆点留在站台上，蓝色圆点随车厢移动
- 球，车厢尺子
- 球，站台尺子
一个球怎么会有两条不同的路径？我们只用第 5 章的规则，从那条直线出发把拱形搭出来。在车厢参考系里，九个瞬间的位置叠在同一条竖直线上，因为 总是 5 米。要找出每个瞬间在站台参考系里的位置，就保持它的高度不变，把它沿轨道的位置加上 ，也就是 。第一个瞬间 ，不移动；第二个稍晚一点，移动一点；越往后的瞬间移动得越多，因为 随时间增大。一步一步看下面的构造：竖直的一摞点张开成了拱形。
点一个圆点，看它的数字。两个参考系里的高度相同，所以只有沿轨道的位置在变。
两条路径都对。路径是物体经过的所有位置，而「位置」指的是在某个参考系里测到的位置，所以路径也属于某个参考系。还要注意，在两种描述里，球都落回了手中。在站台参考系里，球沿轨道方向的速度是 ，和手的速度完全一样，所以飞行结束时，球和手又回到了同一个地方。
在匀速行驶的火车里，一位乘客松手让一枚硬币落下。站台上的观察者看到的路径是怎样的？
所有观察者都同意的事
位置、速度和路径都取决于参考系。有没有什么东西对两个观察者是一样的？有，而且这些东西最重要，因为物理定律正是由它们构成的。
时间间隔。两个观察者用同一个 ，所以对任何事情花了多长时间，他们都意见一致，比如球在空中停留的 1.22 秒，第 7 章的时间条显示了这个数。（这就是第 5 章提到的那个假设。）
同一时刻两样东西之间的距离。假设在时刻 ，蓝色标牌的观察者读到车厢上两个点的位置是 和 。橙色标牌的观察者读到的是 和 ，所以
抵消了，就像第 3 章里原点的位置 抵消一样。所以两个观察者都同意，比如说，车厢长 12 米。
速度的变化。如果走路的人在车厢上从 加速到 ，站台看到他的速度从 变成 。站台看到的变化是
所以两个观察者在同样的时间里看到同样的速度变化。每秒内速度的变化叫作加速度，所以两个观察者测到的加速度相同。只要 保持不变，车厢自己的速度 就不会出现在里面。
最后这一点有很重要的后果。下一页的运动定律把力和速度的变化联系起来，而不是和速度本身联系起来。在这里的牛顿力学模型中，换到相对匀速运动的参考系，物体间的相互作用力不变；而每个相对站台匀速运动的观察者都测到同样的速度变化，所以他们都得到同样的定律。伽利略在 1632 年用一艘船描述过这件事。把你自己关在甲板下面的船舱里，带上几只苍蝇和蝴蝶、一缸鱼，再挂一个往下面罐子里滴水的瓶子。无论船停在港里，还是平稳地匀速航行，蝴蝶向各个方向飞得一样轻松，鱼也不会偏爱船头或船尾，水滴笔直地落进罐子，把球扔给朋友时，往哪个方向扔都不需要多用力。在船舱里面，没有任何东西能告诉你船是不是在动。
用我们的车厢试一试。把车厢以外的东西都藏起来，然后比较静止的车厢和以 3 米每秒前进的车厢。藏起外面以后，两次抛球看起来完全一样，因为在车厢参考系里它们本来就一样：同样的 、同样的高度、同样的时间。只有把车站显示出来，你才能看出哪一节车厢在动。
摄像机随车厢移动 · 蓝色圆点随车厢移动
先在藏起外面的情况下比较两次抛球。
「在运动的参考系内部做的实验，无法察觉这个参考系的匀速运动」，这句话叫作相对性原理。它回答了这一页开头的问题。「到底是火车在动，还是站台在动？」这个问题，没有哪个实验能够检验它的答案：对运动定律来说，站台参考系和相对它匀速运动的参考系一样好。
站台上的观察者和匀速车厢上的观察者都在看走路的人。下面哪个量，两人测到的不一样？
当车厢加速时
到目前为止，我们都假设车厢匀速运动。现在让它从静止开始加速，每过一秒速度都增加 ，对应的加速度为 。每秒改变同样多的速度，叫作匀加速， 是加速度；它的单位是「每秒增加多少米每秒」，写作 。从零开始，每秒增加 ，那么 秒以后车厢的速度是
车厢地板上放着一辆橙色小车，轮子可以自由转动。它在地板上滚得非常轻松，地板几乎没法把它往前推或者往后推。播放这个实验，分别从两个参考系里看。
橙色：轮子能自由转动的小车 · 每秒一个圆点
- 车厢，相对站台
- 小车，相对站台
- 小车，相对车厢
从站台上看，小车什么也没做。沿着轨道方向没有东西推它，所以它停在原地，离路灯 9 米，而车厢在它下面越来越快地往前开。如果一个物体在没有推力或拉力时保持它的速度（这里速度是零），那正应该是这样。从车厢上看，小车却朝车尾滚去，越滚越快，可是并没有东西往后推它。
我们可以算出小车在车厢上的速度。第 5 章「分两步走」的规则在每一时刻都成立，不管车厢在做什么：小车在站台上的读数，等于车厢尾端在站台上的读数，加上小车在车厢上的读数。所以在一小段时间内，小车在站台上的位移，等于车厢尾端的位移加上小车在车厢上的位移。除以这一小段时间， 就在这一时刻成立，其中 是车厢在这一时刻的速度。站台测到小车的 ，所以
所以在车厢参考系里，小车的速度每秒改变 ，可是沿轨道方向并没有任何力。在这个参考系里，「不受力的物体保持速度不变」这条规则失效了。这条规则成立的参考系叫作惯性参考系。相对惯性参考系匀速运动的参考系也是惯性参考系，第 8 章已经说明了原因：它们测到同样的速度变化。加速的车厢就不是惯性参考系。车厢上的人会觉得自己被往后推；要在这个加速参考系里继续沿用合力与加速度的方程，就要加入一项与参考系加速度相反的惯性力，也叫虚拟力。它是在计算中补偿坐标系的加速，不是另一个物体在向后推小车。地球在自转，还绕着太阳转，所以站台也不是严格的惯性参考系，但对这样的实验来说，这些影响小得根本察觉不到。运动定律在惯性参考系中成立，所以下一页就在惯性参考系里讨论。
公交车突然刹车，光滑地板上的一个球向前滚去。哪种描述正确？
关于光的一个问题
最后，我们回到从第 6 章起一路帮了大忙的规则 。假设蓝色标牌的观察者在车头打开一盏灯，灯朝前照。在车厢上测量，光离开灯的速度大约是 。那么，橙色标牌的观察者测到的光速，是不是应该等于 再加上车厢的速度？
我们的规则说是。精确的实验却说不是：每个惯性观察者用自己参考系的尺子和钟测量，得到的真空光速都一样。这是物理学里最大的意外之一。它意味着我们一路上作的那个假设，也就是两个观察者可以使用同一个时间 ，只是近似成立。光速不变那一页正是从这里开始的。对于走路的人、球和小车，它们的速度和光速比起来小得微不足道，这一页的规则准确得远远超出我们在车站里能测量的精度。
