水中的压强与浮力

穿普通鞋子站在深雪里，你会陷下去；换上一副滑雪板，你就几乎停在雪面上。两次你的重量相同，变的是承受这份重量的面积。同样的力分布在更大的面积上，每平方米受到的压力就更小。物理学用压强来衡量这一点：力除以它所作用的面积。

力的单位是牛顿，面积的单位是平方米，所以压强的单位是牛顿每平方米，这个单位叫作帕斯卡：$1\ \mathrm{Pa} = 1\ \mathrm{N/m^2}$。一帕斯卡很小，所以常用千帕：$1\ \mathrm{kPa} = 1000\ \mathrm{Pa}$。

在同样 $600\ \mathrm{N}$ 的重量下改变受力面积，看它陷进松软的雪里有多深。

鞋底总面积是 $0.05\ \mathrm{m^2}$ 时，$600\ \mathrm{N}$ 的重量产生 $p = 600/0.05 = 12\,000\ \mathrm{Pa} = 12\ \mathrm{kPa}$。换成面积 $0.3\ \mathrm{m^2}$ 的滑雪板，同样的重量产生 $p = 600/0.3 = 2000\ \mathrm{Pa}$：面积变成六倍，压强就变成六分之一。

现在想一想水槽里静止的水。在水面下某处取一小块水平的面，面积为 $A$，深度为 $h$。是什么压在它上面？是它正上方的水。这些水形成一根水柱，底面就是这块面，顶面就是水面。

水柱的体积是 $Ah$，即底面积乘以高。密度记作 $\rho$（希腊字母，读作 rho），表示每立方米的质量；一立方米水的质量是 $1000\ \mathrm{kg}$，所以水的 $\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$。于是水柱的质量是 $\rho A h$，重量是 $\rho A h g$，其中 $g = 9.81\ \mathrm{N/kg}$ 是每千克物体的重量。水柱静止不动，所以有东西托住它：下面的水以等于它重量的力向上推它的底面。（水柱旁边的水只推它的侧面，方向是水平的，帮不上托住水柱的忙。）把这个力除以面积，就得到深度 $h$ 处的压强：

面积 $A$ 约掉了，所以压强与我们取的面有多大无关，只取决于深度，而且与深度成正比：深两倍，压强也大两倍。在 $h = 1\ \mathrm{m}$ 处，$p = 1000 \times 9.81 \times 1 = 9810\ \mathrm{Pa}$，约为 $9.8\ \mathrm{kPa}$。

把这块面移得更深，看它上方的水柱怎样变高。这块面是 $10\ \mathrm{cm} \times 10\ \mathrm{cm}$，所以 $A = 0.01\ \mathrm{m^2}$。

在 $h = 2\ \mathrm{m}$ 处，水柱装有 $0.01 \times 2 = 0.02\ \mathrm{m^3}$ 的水，质量是 $1000 \times 0.02 = 20\ \mathrm{kg}$，重量是 $20 \times 9.81 = 196.2\ \mathrm{N}$。分布在 $0.01\ \mathrm{m^2}$ 上，压强是 $196.2/0.01 = 19\,620\ \mathrm{Pa}$，正好等于 $\rho g h = 1000 \times 9.81 \times 2$。

我们还没有算上空气。大气也压在水面上，在海平面约为 $101\ \mathrm{kPa}$，它会加到每一个深度的压强上：$p = p_0 + \rho g h$，其中 $p_0$ 是大气压。压力表通常只显示由水造成的那一部分，$p - p_0 = \rho g h$，叫作表压。水下十米处，水增加的压强是 $1000 \times 9.81 \times 10 = 98\,100\ \mathrm{Pa}$，几乎又是一整个大气压，所以潜水员的耳朵能感觉到。

还有一个推论：静止的水中，同一深度的两点压强必定相同。如果不同，两点之间的水就会被从压强大的一侧推向压强小的一侧而流动起来，可是水是静止的。所以在静止的水中，压强只取决于深度，与容器的形状无关。

到目前为止，我们的小面是水平放置、从上方受压的。可是水也压在水槽的壁上、压在鱼的身体两侧。实验表明：在静止的水中任何一点，压强对朝向任何方向（向上、向下或侧向）的小面推得一样用力，而且总是垂直地推向那个面。后一点有一个简单的原因：水不能保持自己的形状，它不像木块那样能抵抗让一层滑过另一层的推力。所以静止的水只能垂直地推向一个面；只要有沿着面的分量，水就会流动。

现在往水里放一个物体：一个盒子，顶面和底面都是水平的，面积都是 $A$，高为 $H$。顶面在深度 $h_1$ 处，底面在深度 $h_2 = h_1 + H$ 处。水压在它的六个面上。

先看四个侧面。每个侧面正对着另一个侧面，覆盖同样的深度；由第 2 章，压强只取决于深度。所以相对两个侧面的推力大小相等、方向相反，相互抵消。侧面的推力只是挤压盒子，不会让它移动。

顶面受到深度 $h_1$ 处的压强向下推，底面受到深度 $h_2$ 处的压强向上推。力等于压强乘以面积（第 1 章），所以

底面更深，所以向上的推力更大。差值 $h_2 - h_1$ 正是盒子的高 $H$，而 $HA$ 就是它的体积 $V$。所以水对盒子的净推力向上，大小是 $\rho g V$。看看这是什么：$\rho V$ 是和盒子一样大的那份水的质量，$\rho V g$ 是这份水的重量。水对盒子向上的力，等于盒子排开的那份水的重量。这个净向上的力叫作浮力，这条规律就是阿基米德原理。（我们用的是表压；大气压 $p_0$ 给顶面和底面各增加同样的力 $p_0 A$，所以相互抵消。）

上下移动盒子，并改变它的高度。盒子的横截面是 $0.5\ \mathrm{m} \times 0.5\ \mathrm{m}$，所以 $A = 0.25\ \mathrm{m^2}$。箭头的长度表示推力的大小。

取 $H = 0.4\ \mathrm{m}$，顶面在 $h_1 = 0.6\ \mathrm{m}$ 处：$F_{\text{down}} = 1000 \times 9.81 \times 0.6 \times 0.25 = 1471.5\ \mathrm{N}$，$F_{\text{up}} = 1000 \times 9.81 \times 1.0 \times 0.25 = 2452.5\ \mathrm{N}$，差为 $981\ \mathrm{N}$。盒子的体积是 $0.4 \times 0.25 = 0.1\ \mathrm{m^3}$，而 $0.1\ \mathrm{m^3}$ 的水重 $1000 \times 0.1 \times 9.81 = 981\ \mathrm{N}$。把盒子再降低 $0.5\ \mathrm{m}$：两个推力变成 $2697.75\ \mathrm{N}$ 和 $3678.75\ \mathrm{N}$，差仍然是 $981\ \mathrm{N}$。

注意 $h_1$ 消失了。把盒子放得更深，两个推力增加同样多，差值不变：盒子完全没入水中以后，浮力与它有多深无关。如果顶面露出水面，就没有水推顶面，向上的推力是 $\rho g h_2 A$，也就是恰好填满盒子在水面以下那部分的水的重量。

盒子好算，是因为它的顶面和底面都是平的、水平的。球或鱼的表面是弯曲的，各处推力的方向都不同。我们不把它们一个个加起来，而是用一个对任何形状都适用的论证。设想把物体拿走，在它原来占据的空间里换成水：形状相同，位置相同。这份水是水槽里静止的水的一部分，所以不动。周围的水对它的总推力因此必须恰好平衡它的重量：方向向上，大小等于这份水的重量 $\rho V g$。现在把物体放回去。周围的水仍在原来的深度，所以它推物体表面的方式，和推那份水时完全一样。任何物体受到的浮力，都等于它排开的水的重量：

这里 $V_{\text{sub}}$ 是物体在水面以下那部分的体积，因为只有这一部分排开了水。

物体会上浮还是下沉？把它的重量与它能得到的最大浮力比较。密度为 $\rho_{\text{obj}}$、体积为 $V$ 的物体，质量是 $\rho_{\text{obj}} V$，重量是 $W = \rho_{\text{obj}} V g$。完全没入水中时，它的浮力是 $\rho_{\text{water}} V g$。两者都含有 $Vg$，所以比较的就是密度：如果 $\rho_{\text{obj}} > \rho_{\text{water}}$，重量占上风，物体下沉；如果 $\rho_{\text{obj}} < \rho_{\text{water}}$，浮力占上风，物体上浮。如果两种密度相等，完全没入水中的物体受到的浮力与重力相等，这叫中性浮力；没有其他竖直方向的力、也没有初始运动时，它可以停在这个深度。

较轻的物体升出水面时，排开的水变少，浮力随之减小。浮力等于重量的深度，是它的漂浮平衡位置。但经过这里时它可能还在运动，因此会在平衡位置上下起伏；水的阻力逐渐减弱这种运动。等它静止漂浮，而且没有其他支持力或外加的力时，才可以用平衡条件 $B = W$：

第二行把两边同除以 $g$ 和 $\rho_{\text{water}} V$。所以漂浮的物体有 $\rho_{\text{obj}}/\rho_{\text{water}}$ 那么多比例的体积在水下。密度为 $650\ \mathrm{kg/m^3}$ 的木头漂浮时，有 $650/1000 = 0.65$ 的体积没在水中。钢船能浮起来，是因为船体围住了一大片空气：它的平均密度，也就是总质量除以包括内部空气在内的总体积，比水小。

现在在水槽里检验这些结论。一个半径 $0.43\ \mathrm{m}$ 的球放在水面上方。密度滑块改变球的材料，但不改变它的大小。金色探头测量你所设深度处的表压。你可以用指针抓住球，把它压到水下再松开。

球的体积是 $V = \tfrac{4}{3}\pi R^3 = \tfrac{4}{3}\pi \times 0.43^3 = 0.333\ \mathrm{m^3}$。密度为 $650\ \mathrm{kg/m^3}$ 时，它的质量是 $650 \times 0.333 = 216.5\ \mathrm{kg}$，重量是 $216.5 \times 9.81 = 2124\ \mathrm{N}$。完全没入水中时，它排开 $0.333\ \mathrm{m^3}$ 的水，浮力是 $1000 \times 0.333 \times 9.81 = 3267\ \mathrm{N}$。这比它的重量大，所以松手后它会上浮，最后以 $0.65$ 的体积没在水中而停下。

按播放之前先想一想：密度为 $1200\ \mathrm{kg/m^3}$ 时会怎样？

按播放，然后抓住球，把它压到水下再松开。试一试大于和小于 $1000\ \mathrm{kg/m^3}$ 的密度，并把探头移得更深，检验 $\rho g h$。球运动时水还会对它产生阻力。某一瞬间浮力等于重量，并不单独意味着球已经停下。静止漂浮时浮力与重量平衡；较重的球沉到底部以后，还需要槽底向上的支持力。