管道中的水

我们需要分清两个量。一个是水运动得多快，也就是速率 $v$，单位是米每秒；另一个是每秒流过多少水，也就是体积流量 $Q$，单位是立方米每秒或升每秒。

看一根横截面积为 $A$ 的管子，里面充满以速率 $v$ 流动的水。在很短的时间 $\Delta t$ 内，每一点水都向前移动距离 $v\,\Delta t$。所以这段时间里越过管中某条横线的水，是一块长 $v\,\Delta t$、面积 $A$ 的水片，体积是 $A v\,\Delta t$。除以时间，就得到流量：

一立方米是 $1000$ 升，所以 $8\ \mathrm{L/s}$ 就是 $0.008\ \mathrm{m^3/s}$。

改变管子的半径和水的速率。阴影部分是一秒内越过虚线的水。

本课后面的文丘里管入口半径是 $6\ \mathrm{cm}$，所以面积 $A_1 = \pi \times 0.06^2 = 0.01131\ \mathrm{m^2}$。当 $Q = 0.008\ \mathrm{m^3/s}$ 时，那里的速率是 $v_1 = Q/A_1 = 0.008/0.01131 = 0.707\ \mathrm{m/s}$。

现在让管子变窄。水几乎不能被压缩：在通常的压强下它的体积不变，所以在充满水的管子里，水不可能在任何地方越积越多。流动稳定以后，每秒从细处流出的水，必定和从粗处流进的水一样多。所以每个横截面上的 $Q$ 都相同，由第 1 章：

管子的横截面是圆，面积是 $\pi r^2$。如果细处的半径是入口的 $0.55$ 倍，它的面积就是入口的 $0.55^2 = 0.3025$ 倍，因为 $\pi$ 相同，而每个半径都要平方。所以水必须流快到 $1/0.3025 = 3.31$ 倍：$v_2 = 0.707 \times 3.31 = 2.34\ \mathrm{m/s}$。这里比较的是同一次稳定流动中的两个截面。下面的实验假设水泵维持所选流量。真实水龙头不一定能在拇指改变出口时保持流量不变，总流量也可能减小；但对每一种稳定下来的状态，每秒通过各个截面的水量仍然相等。

把细处变得更细。两块阴影是半秒内越过两条虚线的水：体积相同，但在细处又长又细。

在细处水流得更快，所以动能更大，一定有什么对它做了功。在水平的管子里，除了周围的水，没有别的东西推水，所以多出来的速度只能来自压强差：后面的水推得比前面的水更用力。功与能页面给了我们需要的规则：对物体做的功等于它动能的变化。

取粗处入口与细处出口之间的整段水，比较很短的时间 $\Delta t$ 前后。稳定、不可压缩的流动中，进入和离开的体积同为 $\Delta V$。中间前后重合的水保持相同的速度分布，动能没有改变；差别在于入口少了一份速率为 $v_1$ 的水，出口多了一份速率为 $v_2$ 的等体积水。每份质量都是 $\rho\,\Delta V$，所以动能差为 $\tfrac12\rho\,\Delta V(v_2^2-v_1^2)$。再数两端的压强做功：入口以力 $p_1A_1$ 向前推过距离 $d_1$，而 $A_1d_1=\Delta V$，输入功为 $p_1\Delta V$；出口压强以力 $p_2A_2$ 阻碍水前进，推动距离 $d_2$ 满足 $A_2d_2=\Delta V$，带走功 $p_2\Delta V$。在这里水平、无摩擦的模型中，净功就等于这份动能增加：

第二行两边除以 $\Delta V$，第三行移项，使每一边只属于一个位置。所以沿着管子，组合 $p + \tfrac{1}{2}\rho v^2$ 保持不变。这就是水平管道中的伯努利方程。水流得越快，$\tfrac{1}{2}\rho v^2$ 越大，$p$ 就必须越小。细处的压强更低，正是这个压强差让水在流进细处时加速。

我们假设途中没有能量因摩擦而损失，对一段短而光滑的管子，这是很好的近似；第 5 章会说明不满足时有什么变化。如果管子还升高了 $h_2 - h_1$，重力会从这份水身上带走功 $\rho\,\Delta V g\,(h_2 - h_1)$。把它算进去，再除以 $\Delta V$，就多出一个重力项：沿着管子，$p + \tfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h$ 保持不变。

对第 2 章的文丘里管，使用 $v=Q/A$ 算得的未舍入速度，可得 $p_1-p_2=\tfrac12\rho(v_2^2-v_1^2)\approx2484\,\mathrm{Pa}$。若改用显示的已舍入速度 $2.34$ 和 $0.707\,\mathrm{m/s}$，会算出约 $2488\,\mathrm{Pa}$；这点差别来自舍入，不是另一种物理效应。

这就是那根管子。管子上竖着两根细管，一根在粗处，一根在细处。水在每根细管里升高，直到水柱的重量与下方管中的压强平衡。由水中的压强与浮力一课的第 2 章，高为 $h$ 的水柱产生压强 $\rho g h$，所以高度是 $h = p/(\rho g)$。因此 $2484\ \mathrm{Pa}$ 的压强差表现为 $2484/(1000 \times 9.81) = 0.253\ \mathrm{m}$ 的高度差，约 $25\ \mathrm{cm}$。

按播放。金色圆环是水中的标记：看它们在水加速的地方怎样拉开距离。改变流量和收窄程度，把读数与上面的公式对照。管子和细管画得比实际大，便于观察。

真实的水有一点黏。相互滑过的水层之间会摩擦，有点像两只手搓在一起，摩擦把一部分能量变成热。这种黏性的大小叫作黏度，记作 $\mu$（希腊字母，读作 mu）。蜂蜜的黏度很大，水的很小，约为 $0.001\ \mathrm{Pa\,s}$，记作 $1\ \mathrm{mPa\,s}$。

看一根又长又直、粗细不变的管子。由第 2 章，管中各处的速率相同，所以按伯努利方程，压强也处处相同：没有黏性的水会在完全没有推力的情况下一直流下去。真实的水不会这样。贴着管壁的水不动，相邻的一层流得慢，中间流得最快。各层相互摩擦，如果两端之间没有压强差 $\Delta p$ 一直推动，流动就会停下来。

流量有多大？这里假设管子是圆截面的直管，液体黏度不变，并且流动已成为充分发展的层流：水层平稳滑过，速度分布不再沿管长改变，同时忽略入口和出口附近的影响。在这种稳定流动中，压强差的推力与摩擦相平衡。把 $\Delta p$ 加倍，推力加倍；摩擦与各层相互滑过的快慢成正比，所以各处速率以及 $Q$ 也都加倍。黏度大一倍的液体，在同样的速率下摩擦也大一倍，所以在同样的推力下只能流得一半快。对半径为 $R$、长为 $L$ 的管子，这些合起来就是泊肃叶定律，下面的方框里一步步推导了它：

最引人注意的是 $R^4$：管子粗一倍，在同样的压强差下流量是 $2^4 = 16$ 倍。下面的管子 $R = 6\ \mathrm{mm}$、$L = 1\ \mathrm{m}$、$\Delta p = 20\ \mathrm{Pa}$、$\mu = 1\ \mathrm{mPa\,s}$，所以 $Q = \frac{\pi \times 20 \times 0.006^4}{8 \times 0.001 \times 1} = 1.02 \times 10^{-5}\ \mathrm{m^3/s}$，约 $10.2\ \mathrm{mL/s}$。平均速率是 $Q/(\pi R^2) = 0.090\ \mathrm{m/s}$，中间的流速是平均值的两倍。

按播放。金色染料片一开始是平的，然后被拉成弯曲的形状：中间最快，管壁处不动。改变 $\Delta p$ 和 $\mu$，把流量与公式对照。