La velocidad de la luz es la misma para todos

El observador azul del vagón enciende una luz hacia delante. Desde el vagón sale a $c = 3.00 \times 10^{8}\ \mathrm{m/s}$. Si la regla antigua funcionara como con el caminante, el andén mediría $c + v$. Con un vagón a $30\ \mathrm{m/s}$, la diferencia es solo una diezmillonésima, imperceptible con un cronómetro, pero accesible a experimentos ingeniosos.

En el siglo XIX la expectativa era más concreta. Se creía que la luz era una onda del éter que llenaba el espacio, como cuenta Qué es la luz. Así, $c$ sería su velocidad respecto al éter, como el sonido respecto al aire. Un observador que avanzara por el éter a $v$ mediría $c - v$ para luz en su mismo sentido y $c + v$ para la que viniera de frente. Como la Tierra orbita el Sol a unos $30\ \mathrm{km/s}$, debería sentir un «viento de éter», con luz algo más lenta en ciertas direcciones.

¿Cómo medir diferencias tan pequeñas? La idea de Michelson se entiende con nadadores. Dos nadan a $c$ respecto al agua en un río cuya corriente es $v$. Uno recorre $L$ corriente abajo y regresa contra ella; el otro cruza la misma distancia $L$ y vuelve. ¿Quién gana? Pruébalo abajo.

El nadador longitudinal tiene velocidad $c + v$ respecto a la orilla al bajar, ayudado por la corriente, y $c - v$ al regresar. Como tiempo es distancia entre velocidad, el viaje completo tarda

Para sumar las fracciones usamos el denominador común $(c - v)(c + v) = c^2 - v^2$.

El que cruza debe apuntar un poco río arriba para no derivar. Su velocidad respecto al agua es $c$ y la corriente longitudinal es $v$; su suma debe apuntar directamente a la otra orilla. Forman un triángulo rectángulo con hipotenusa $c$, así que, por Pitágoras, la velocidad transversal es

El regreso es igual, por lo que el tiempo total es

Como $\sqrt{c^2 - v^2}$ es menor que $c$, el tiempo transversal supera ligeramente $2L/c$. El longitudinal contiene el factor mayor $c^2/(c^2 - v^2)$ y tarda aún más. El nadador transversal siempre gana, con más ventaja cuanto mayor es la corriente. Michelson comprendió que la luz en el viento de éter disputaría la misma carrera.

En el interferómetro de Michelson, un espejo semiplateado divide un haz en dos. Una mitad recorre un brazo hasta un espejo y vuelve; la otra recorre un brazo perpendicular. Se reúnen y llegan a una pantalla. Como en la doble rendija, interfieren: un retraso de un periodo completo conserva las franjas; medio periodo intercambia claras y oscuras. Las franjas funcionan como un reloj extremadamente sensible para comparar los tiempos de recorrido.

La longitud efectiva de los brazos era unos $L = 11\ \mathrm{m}$, conseguida mediante varias reflexiones. La velocidad terrestre era $v = 3 \times 10^{4}\ \mathrm{m/s}$, así que $v/c = 10^{-4}$. Podemos simplificar ambos tiempos por ser pequeña esta razón. Escribimos $\beta = v/c$. Entonces $1/(1 - \beta^2)$ se aproxima mucho a $1 + \beta^2$, porque $(1 + \beta^2)(1 - \beta^2) = 1 - \beta^4$ y $\beta^4 = 10^{-16}$ es despreciable. Del mismo modo, $1/\sqrt{1 - \beta^2}$ se aproxima a $1 + \tfrac{1}{2}\beta^2$ porque el cuadrado de $1 + \tfrac{1}{2}\beta^2$ es $1 + \beta^2 + \tfrac{1}{4}\beta^4$. La diferencia temporal es

Aproximadamente $3.7 \times 10^{-16}\ \mathrm{s}$, cerca de un tercio de una millonésima de nanosegundo. Para luz verde de longitud $5.5 \times 10^{-7}\ \mathrm{m}$, el periodo es $\lambda / c = 1.8 \times 10^{-15}\ \mathrm{s}$: el retraso ronda un quinto de periodo. Girar el aparato $90°$ intercambia los brazos y duplica el efecto; las franjas deberían desplazarse unas $0.4$ franjas, fácilmente observables. La losa del aparato flotaba sobre mercurio para girar suavemente. Gira el modelo y compara con y sin viento de éter.

En julio de 1887 giraron repetidamente el aparato al mediodía y al atardecer. El desplazamiento fue menor que $0.02$ franjas y compatible con las vibraciones del instrumento: como máximo una vigésima parte de lo previsto, posiblemente ninguno. Las mejoras posteriores, hasta los experimentos actuales con láseres y cavidades ópticas, redujeron ese límite más de mil millones de veces. No había viento de éter. En la Tierra en movimiento, la velocidad de la luz era igual en todas las direcciones.

¿Podría la luz heredar la velocidad de su fuente, como una pelota lanzada desde un vagón, de modo que $c$ fuera siempre relativa a ella? También explicaría Michelson-Morley, pues la lámpara se movía con el aparato. Dos observaciones descartan esa posibilidad. Muchas estrellas forman parejas que orbitan entre sí: una se acerca mientras la otra se aleja. Si su luz heredara esa velocidad, la emitida al acercarse alcanzaría luz anterior; tras distancias estelares, las imágenes se alterarían y aparecerían estrellas fantasma y órbitas extrañas. Sin embargo, observamos órbitas regulares.

Una prueba directa se realizó en el CERN en 1964. Los piones neutros viajaban a $0.99975\,c$ y decaían emitiendo destellos de rayos gamma, luz de longitud muy corta. En una distancia de $30\ \mathrm{m}$, la velocidad de los rayos emitidos hacia delante fue $c$, compatible con la velocidad de la luz en el vacío dentro del error experimental. No viajaban a $c + 0.99975\,c$, casi el doble. La velocidad de la luz tampoco depende del movimiento de la fuente.

En 1905, Einstein propuso basar la física en dos afirmaciones. La propuesta es anterior a los experimentos posteriores con fuentes móviles: estos probaron la teoría, no fueron la causa histórica de su formulación. Primero, el principio de relatividad, extendido de la mecánica a toda la física: las leyes físicas son iguales en todo sistema inercial, sin aceleración y donde un cuerpo libre aislado mantiene movimiento rectilíneo uniforme. Ningún experimento en un camarote cerrado detecta su movimiento uniforme. Segundo, la velocidad de la luz en el vacío es la misma en todos esos sistemas, $c$, con independencia del movimiento de la fuente y del observador.

La segunda afirmación contradice $u = u' + v$, derivado en Sistemas de referencia. Esa derivación usaba una suposición que señalamos: ambos observadores podían compartir el tiempo $t$. Si todos miden la misma velocidad de la luz, esa suposición debe fallar. Veremos dónde, utilizando solo los dos postulados y álgebra ordinaria.

Construyamos el reloj más sencillo: dos espejos enfrentados, separados $h$, y un pulso que rebota entre ellos. Cada regreso al espejo inferior es un tic. En el vagón, el pulso sube y baja recto, recorre $2h$ y tarda $T_0 = 2h/c$ por tic.

Desde el andén, el vagón se mueve a $v$. Mientras el pulso sube, durante $T/2$ según el reloj del andén, el espejo superior avanza $v\,T/2$. El pulso sigue una diagonal, hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos $h$ y $v\,T/2$. Por el segundo postulado también viaja a $c$ respecto al andén, así que la hipotenusa mide $c\,T/2$. Por Pitágoras,

Despejemos $T$. Restamos $(vT/2)^2$, extraemos el factor común $(T/2)^2$, dividimos entre $c^2 - v^2$, tomamos la raíz y usamos $2h/c = T_0$:

El factor $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ nunca es menor que $1$. El andén encuentra que el reloj móvil tarda más en completar un tic que uno idéntico en reposo junto a él: medido desde el sistema en que se mueve, el reloj móvil marcha más despacio. Es la dilatación temporal. No es un defecto del reloj de luz: por relatividad, todos los relojes del vagón, incluido el latido del caminante, deben acompañarlo; de lo contrario, los ocupantes detectarían su movimiento. Prueba varias velocidades y compara los tics.

A velocidades cotidianas el efecto es diminuto. Con $v = 300\ \mathrm{m/s}$, como un avión comercial, $v/c = 10^{-6}$ y $\gamma$ supera $1$ en solo la mitad de $10^{-12}$. Por eso funcionaba tan bien compartir un tiempo. En 1971, Hafele y Keating llevaron relojes atómicos en aviones alrededor de la Tierra y midieron diferencias así de pequeñas.

La naturaleza proporciona relojes rápidos gratuitamente. Las colisiones de rayos cósmicos en la atmósfera producen partículas llamadas muones. Para un cálculo concreto, supongamos que nacen a $10\ \mathrm{km}$ del suelo y bajan a $0.995\,c$; en realidad sus alturas y velocidades varían. Un muón en reposo vive en promedio $2.2\ \mu\mathrm{s}$ antes de decaer. Incluso casi a la velocidad de la luz, en ese tiempo solo recorrería $0.995 \times 3.00 \times 10^{8} \times 2.2 \times 10^{-6} \approx 660\ \mathrm{m}$, pero llegar al suelo requiere mucho más:

Son unos quince tiempos de vida promedio. Cada tiempo de vida deja una fracción $1/e$ de supervivientes, con $e \approx 2.72$, como en el decaimiento radiactivo. Solo debería llegar aproximadamente $e^{-15.2} \approx 2.4 \times 10^{-7}$, unas pocas diezmillonésimas. Sin embargo, llega una proporción considerable: los muones atraviesan continuamente cada metro cuadrado del suelo y también tu cuerpo.

La dilatación temporal lo explica. El «reloj» interno que determina el decaimiento se mueve respecto al suelo, así que su tiempo de vida medido desde allí aumenta por un factor $\gamma$:

Ahora el viaje dura solo $33.5 / 22 \approx 1.5$ tiempos de vida y $e^{-1.52} \approx 0.22$: en este ejemplo simplificado llega aproximadamente una quinta parte. Para comparar con datos reales debemos incluir la distribución de energías y alturas; este número es una predicción del modelo, no una proporción medida citada. Alterna ambas predicciones.

La segunda idea que cae es que «simultáneo» significa lo mismo para todos. Pon una lámpara en el centro del vagón y hazla destellar. La luz viaja a $c$ hacia delante y atrás.

En el vagón, ambos extremos están igual de lejos y la luz viaja igual de rápido en ambos sentidos; por tanto, llega simultáneamente a ambos.

En el andén, por el segundo postulado, también viaja a $c$ en ambos sentidos, no a $c \pm v$. Pero la parte trasera avanza hacia el pulso mientras la delantera se aleja. La luz llega primero atrás. Dos sucesos simultáneos en el vagón no lo son en el andén. Ninguno de los observadores se equivoca: la simultaneidad depende del sistema, como posición y velocidad. Por eso debemos abandonar el tiempo compartido.

Si $u = u' + v$ falla, ¿qué regla vale? Mermin encontró una derivación con los dos postulados y algo de álgebra. Desde la parte trasera de un vagón de longitud $D$ medida en el andén, soltamos simultáneamente una pelota y un destello hacia delante. La luz llega al espejo delantero, vuelve y encuentra la pelota en algún punto, que marcamos en el suelo. Como es una posición fija del vagón, ambos observadores deben coincidir en la fracción $f$ que representa su distancia al frente respecto a la longitud total.

Calculemos desde el andén: el vagón va a $v$ y la pelota a $w$. La luz persigue el frente, que se aleja a $v$, con velocidad de acercamiento $c - v$; lo alcanza en $t_1 = D/(c - v)$. Al regresar, luz y frente se separan a $c + v$, así que tras $t_2$ la luz está $(c + v)\,t_2$ detrás del frente; se encuentran cuando esa distancia es $fD$. La pelota empieza $D$ detrás y gana al frente a $w - v$; tras el tiempo total $t_1 + t_2$ queda a $D - (w - v)(t_1 + t_2)$ de él. Igualamos ambas distancias a $fD$:

De la primera ecuación, $t_2 = fD/(c + v)$. Sustituimos ambos tiempos en la segunda, dividimos todos los términos entre $D$ y agrupamos los que contienen $f$:

Desde el vagón, la misma carrera tiene $v = 0$ y la pelota va a $w'$, así que la misma fórmula da $f = (c - w')/(c + w')$. Ambas proporciones deben coincidir. Las igualamos y despejamos $w$; resulta más fácil usar unidades donde $c = 1$ y restaurar $c$ al final:

Esta es la regla correcta de suma de velocidades. Comprobémosla en tres casos. A velocidades cotidianas, $w'v/c^2$ es diminuto: dos velocidades de $30\ \mathrm{m/s}$ dan $w'v/c^2 = 10^{-14}$, de modo que $w = w' + v$ solo recibe una corrección relativa de orden $10^{-14}$; la regla antigua es excelente. Para la propia luz, ponemos $w' = c$ y obtenemos $w = (c + v)/(1 + v/c) = c$, como exige el segundo postulado. Con velocidades grandes, $w' = v = 0.5\,c$ da $w = c/(1 + 0.25) = 0.8\,c$, en lugar de $c$: sumar velocidades menores que $c$ nunca alcanza $c$. Prueba otros valores.

Los dos postulados cambian tres ideas que parecían evidentes: los relojes móviles marchan más despacio, la simultaneidad depende del sistema y las velocidades no se suman sin más. El mismo razonamiento acorta las reglas móviles en la dirección del movimiento y lleva a $E = mc^2$, temas de páginas posteriores. El principio de relatividad permanece y ahora incluye la luz, como a caminantes y pelotas.