Sistemas de referencia

Empecemos por la maleta del andén. Si alguien pregunta dónde está, puedes responder «junto a la farola», «unos pasos delante del banco» o «delante de mí». Todas las respuestas sirven y mencionan otra cosa: la farola, el banco o tú. Para localizar la maleta debemos elegir algo con lo que compararla. Incluso «aquí» utiliza implícitamente tu propia posición.

«Cerca» o «unos pasos» bastan en la vida cotidiana, pero la física necesita números para comparar mediciones. Convertir una posición en un número requiere tres elecciones. Primero, un punto de partida, el origen, donde el número es cero. Segundo, qué dirección será positiva; la contraria será negativa. Tercero, una unidad de longitud, como el metro. La regla del borde del andén tiene segmentos alternos naranjas y blancos de 1 metro, que puedes contar directamente.

Pruébalo. Elige el reloj, la farola o el banco como origen y decide la dirección positiva. Una bandera naranja señala el origen y una flecha naranja apunta en sentido positivo. La regla inferior representa numéricamente esas mismas elecciones y la tabla da la posición de cada objeto. Observa cómo cambia el número de la maleta.

Con origen en la farola y sentido positivo hacia el avance del vagón, a la derecha, la maleta está en $+7\ \mathrm{m}$, al final del séptimo segmento a la derecha. Con origen en el banco, está en $-3\ \mathrm{m}$ porque queda 3 metros a su izquierda, en el lado negativo. Con origen en el reloj está en $+12\ \mathrm{m}$. Del reloj a la farola hay 5 segmentos a la derecha; de la farola a la maleta, otros 7 en el mismo sentido. Al unirlos, $5 + 7 = 12$. Invertir el sentido positivo cambia todos los signos. Sin embargo, la maleta no se ha movido: solo cambia su descripción, porque cambiamos el origen o el sentido positivo. Cada posición debe indicar también desde dónde se mide.

¿Cómo obtuvimos $-3$? Desde la farola hasta la maleta, el desplazamiento es $+7\ \mathrm{m}$. También podemos pasar por el banco: de la farola al banco hay $+10\ \mathrm{m}$ y del banco a la maleta falta calcularlo. Ambos desplazamientos deben sumar $+7\ \mathrm{m}$, así que el desconocido es $7 - 10 = -3\ \mathrm{m}$. El signo negativo indica que ese segundo tramo retrocede hacia la farola. Los desplazamientos parciales sobre una misma recta se suman; volveremos a usarlo con el vagón en movimiento.

Describir el movimiento requiere algo más. Moverse significa que la posición cambia con el tiempo, así que debemos indicar cuándo medimos cada posición. Necesitamos un reloj y otro cero: llamamos $t = 0$ a cierto instante. Usaremos el reloj del andén. En todos los experimentos, su segundero sigue el tiempo $t$ mostrado junto a la escena.

Ya podemos nombrar el conjunto. Un objeto que consideramos inmóvil, aquí el andén, con un origen y un sentido positivo, una unidad de longitud y un reloj constituye un sistema de referencia. Las posiciones y los instantes expresados en él son sus coordenadas. Nuestro sistema del andén utiliza la regla naranja y blanca. Pronto añadiremos un segundo sistema, el del vagón.

Dos aclaraciones. Primero, nuestra regla solo mide a lo largo de la vía, suficiente para casi toda la página. Para localizar cualquier punto del andén necesitaríamos otra regla transversal y otra vertical, es decir, tres números. Solo usaremos la altura una vez, en la sección 7. Segundo, no hace falta una persona en el sistema. «Observador» es una manera breve de decir «medir con la regla y el reloj del andén» o «medir con los del vagón».

Pongamos el vagón en movimiento. Su borde lleva una regla azul y blanca que usaremos después. Por ahora observa su extremo trasero, donde está el poste azul. Pulsa reproducir o arrastra el tiempo. La regla del andén inferior muestra dónde está ese extremo en cada instante; la tabla recoge las lecturas de cada segundo entero.

Cada segundo, el extremo trasero avanza $1.5\ \mathrm{m}$ en la regla del andén. Recorrer distancias iguales en intervalos iguales se llama movimiento uniforme. Para expresar numéricamente la rapidez, dividimos la distancia recorrida entre el tiempo empleado. Tomemos dos lecturas: en $t_1 = 2\ \mathrm{s}$, el extremo está en $x_1 = 3\ \mathrm{m}$; en $t_2 = 6\ \mathrm{s}$, está en $x_2 = 9\ \mathrm{m}$.

El símbolo $\Delta$, delta mayúscula griega, significa «cambio de». La posición pasa de $3\ \mathrm{m}$ a $9\ \mathrm{m}$: cambia $6\ \mathrm{m}$, escrito $\Delta x$. El cambio de posición también se llama desplazamiento. El tiempo pasa de $2\ \mathrm{s}$ a $6\ \mathrm{s}$: cambia $4\ \mathrm{s}$, escrito $\Delta t$, el intervalo de tiempo. Su cociente es la velocidad, en metros por segundo, $\mathrm{m/s}$, porque dividimos metros entre segundos. Como la posición tiene signo, la velocidad también. Si el vagón va al contrario, $x_2$ es menor que $x_1$, así que $\Delta x$ y la velocidad son negativos. El signo indica la dirección y la magnitud indica la rapidez. Al ser uniforme, otras dos lecturas dan lo mismo: de $t = 0$ a $t = 4\ \mathrm{s}$, el extremo pasa de $0$ a $6\ \mathrm{m}$ y $6 \div 4 = 1.5$. Si el movimiento no es uniforme, esta división da la velocidad media del intervalo. Para describir una velocidad cambiante, tomamos intervalos muy cortos, como haremos en la sección 9.

¿Depende la velocidad de dónde pongamos el origen? Elige el banco. Cada lectura disminuye 10 metros porque está a 10 metros de la farola: $x_1 = 3 - 10 = -7\ \mathrm{m}$, $x_2 = 9 - 10 = -1\ \mathrm{m}$. El desplazamiento es $(-1) - (-7) = 6\ \mathrm{m}$, igual que antes. No es casualidad. Si llamamos $a$ a la distancia entre el nuevo origen y la farola, las nuevas lecturas son $x_1 - a$ y $x_2 - a$, y su diferencia es

$a$ aparece una vez con signo negativo y otra con positivo, por lo que se cancela. Mover el origen desplaza todas las posiciones en la misma cantidad, pero no cambia su diferencia. Así, desplazamiento y velocidad no dependen de dónde esté el origen. Recuérdalo: lo siguiente parece similar, pero es distinto. Ya no llevaremos el origen a otro lugar del andén, sino a un objeto en movimiento.

Ahora una persona con distintivo verde camina hacia la parte delantera del vagón mientras este avanza junto al andén. Dos personas observan: una con distintivo naranja en el andén y otra con distintivo azul cerca de la parte delantera del vagón. La azul usa la regla azul y blanca, cuyo cero está en el poste trasero; la naranja usa la regla naranja y blanca del andén. Para distinguirlas, añadimos una prima al símbolo de la posición medida en el vagón: $x'$, «equis prima». En el andén escribimos $x$. La prima solo significa «medido en el vagón».

La cámara puede quedarse en el andén, junto al observador naranja, o moverse con el vagón, como si estuviera fijada a él mediante una barra. Alterna entre ambas vistas y reproduce el movimiento. Activa también los puntos: cada segundo se dibuja uno naranja junto a la regla del andén, alineado con la posición longitudinal del caminante, y otro azul en el suelo del vagón, junto a su regla y alineado con su posición allí. Los puntos naranjas permanecen en el andén; los azules se desplazan con el vagón.

Desde el andén, el caminante avanza deprisa hacia la derecha: al contar los segmentos, los puntos naranjas están separados $2.5\ \mathrm{m}$. Desde el vagón, camina despacio: los azules se separan $1\ \mathrm{m}$, mientras el andén, la farola y la valla retroceden. Ambas vistas son correctas: describen el mismo movimiento con dos reglas distintas. Las próximas secciones preguntan cómo se relacionan esas descripciones y si podemos calcular una a partir de la otra.

Organicemos las reglas. La del andén tiene su cero en la farola; la del vagón, en el poste azul trasero. Cuando el extremo trasero pasa junto a la farola, iniciamos el reloj en $t = 0$: ambos ceros coinciden en ese instante. El vagón avanza uniformemente respecto al andén con velocidad $v$; en el experimento, $v = 1.5\ \mathrm{m/s}$.

¿Dónde está el cero del vagón en el instante $t$? Parte de la farola y recorre $v$ metros por segundo, de modo que en $t$ segundos recorre $v \times t$ metros. Su extremo trasero está, por tanto, en $vt$ en la regla del andén. Por ejemplo, en $t = 4\ \mathrm{s}$ está en $1.5 \times 4 = 6\ \mathrm{m}$.

Miremos al caminante. En el instante $t$, el observador azul lee $x'$ en la regla del vagón. ¿Qué lee el naranja? Usemos los desplazamientos parciales de la sección 1: de la farola al extremo trasero hay $vt$ y de allí al caminante, $x'$, porque la regla del vagón empieza atrás. Sumarlos da la posición medida desde la farola:

Por ejemplo, en $t = 4\ \mathrm{s}$, el caminante está en $x' = 6\ \mathrm{m}$ en la regla del vagón y el extremo trasero en $vt = 6\ \mathrm{m}$ en la del andén. Por tanto, la lectura del andén es $x = 6 + 6 = 12\ \mathrm{m}$. Arrastra el tiempo y comprueba otros instantes: el tramo naranja es $vt$ y el azul, $x'$; juntos llegan exactamente al caminante.

También podemos invertirlo. Restando $vt$ a ambos lados obtenemos la lectura del vagón a partir de la del andén:

Estas dos líneas son todas las reglas de conversión cuando un sistema se mueve uniformemente respecto al otro y sus orígenes coinciden en $t = 0$. Se llaman transformaciones de Galileo, por Galileo, uno de los primeros en estudiar cuidadosamente sistemas en movimiento. Esconden una suposición: ambos observadores utilizan el mismo tiempo, $t$, leído en relojes igualmente precisos. A velocidades cotidianas se ha comprobado tan bien que apenas advertimos la suposición; la última sección mostrará dónde deja de valer.

Compáralo con la sección 3. Mover el origen al banco cambia todas las lecturas en una cantidad fija de 10 metros. Pasar al vagón las cambia en $vt$, que aumenta con el tiempo. Ese desplazamiento creciente hace que ambos observadores describan movimientos distintos, como veremos ahora.

Ya podemos explicar los puntos de la sección 4. Los símbolos con prima se miden en el vagón: $x'$ es posición y $u'$, velocidad. Los símbolos sin prima, $x$ y $u$, se miden en el andén; $v$ es la velocidad del propio vagón. El caminante parte de $x' = 2\ \mathrm{m}$ y camina por el vagón a $u' = 1\ \mathrm{m/s}$: su velocidad medida allí es $u'$. ¿Qué velocidad mide el andén?

Sigamos al caminante entre $t_1 = 2\ \mathrm{s}$ y $t_2 = 6\ \mathrm{s}$, midiendo el desplazamiento con ambas reglas. En el vagón pasa de $x'_1 = 4\ \mathrm{m}$ a $x'_2 = 8\ \mathrm{m}$: durante $4\ \mathrm{s}$ se desplaza $4\ \mathrm{m}$, lo que da $u' = 1\ \mathrm{m/s}$, como habíamos fijado. Para la regla del andén aplicamos la regla anterior en ambos instantes:

Los 10 metros medidos desde el andén tienen dos partes: los 4 metros caminados por el vagón y los 6 metros que avanza el propio vagón en esos 4 segundos. Dividir ambas partes entre los mismos 4 segundos da dos velocidades, por eso se suman directamente. Repitamos con números: de los 10 metros del andén, 6 corresponden al vagón y 4 al caminante; al dividir entre 4 segundos, $2.5 = 1.5 + 1.0$. Las letras siguientes solo escriben lo mismo; puedes saltarlas si no las entiendes:

Dividimos ambos lados entre $\Delta t$ y cada desplazamiento se convierte en velocidad. Aquí $u$ es la velocidad del caminante respecto al andén; $u'$, respecto al vagón; y $v$, la del vagón respecto al andén. En palabras: la velocidad respecto al andén es la velocidad respecto al vagón más la velocidad del vagón respecto al andén.

Prueba otras velocidades con los controles. Las flechas inferiores indican cuánto avanza cada cosa en un segundo: la naranja representa $v$ del vagón; desde su punta, la azul representa $u'$ del caminante por el vagón; y la verde es la velocidad total $u$ vista desde el andén.

Prueba un $u'$ negativo: la persona gira y camina hacia atrás. Con $u' = -1\ \mathrm{m/s}$ y $v = 1.5\ \mathrm{m/s}$, el andén mide $u = -1 + 1.5 = 0.5\ \mathrm{m/s}$: aún avanza, pero despacio. Cambia después $u'$ a $-1.5\ \mathrm{m/s}$ y obtenemos $u = -1.5 + 1.5 = 0$. Camina uniformemente por el vagón, pero permanece junto a la misma marca del andén. Desde el andén parece caminar sin avanzar; desde el vagón camina normalmente.

Quizá ya hayas usado esta regla sin darte cuenta al caminar sobre una cinta de aeropuerto o remar en un río con corriente. Es tan familiar que parece evidente. Aun así, recuérdala: en la última sección encontraremos algo que no la cumple.

Hasta ahora todo se movía a lo largo de la vía. Añadamos altura. El caminante se queda quieto en el vagón, lanza una pelota verticalmente y la recoge, mientras el vagón avanza uniformemente a $3\ \mathrm{m/s}$. Para la altura necesitamos una tercera regla vertical, con cero a la altura del suelo del vagón. El andén y ese suelo están al mismo nivel, y el vagón no sube ni baja. Las reglas de altura no se deslizan entre sí: ambos observadores miden la misma altura de la pelota en cada instante.

Veamos el lanzamiento desde el vagón. La pelota sube, se frena, se detiene un instante y vuelve a la mano. Su trayectoria es una recta vertical: en la regla del vagón siempre está en $x' = 5\ \mathrm{m}$. Desde el andén también sube y baja, pero además avanza por la vía, describiendo un arco. Dejamos nueve puntos a intervalos iguales durante el vuelo para registrar ambas trayectorias.

¿Cómo puede una pelota tener dos trayectorias? Construyamos el arco a partir de la recta usando solo la regla de la sección 5. En el vagón, los nueve puntos están en una misma vertical porque $x'$ siempre vale 5 metros. Para hallar cada posición en el andén, conservamos la altura y sumamos $vt$ a la posición longitudinal, es decir, $x = x' + vt$. En el primer instante, $t = 0$, no desplazamos el punto; el segundo se mueve un poco, y los siguientes cada vez más, porque $vt$ aumenta con el tiempo. Sigue la construcción: la columna vertical de puntos se abre formando un arco.

Ambas trayectorias son correctas. Una trayectoria reúne las posiciones por las que pasa el objeto; como cada posición se mide en un sistema, la trayectoria también pertenece a un sistema de referencia. En ambas descripciones, la pelota vuelve a la mano. Desde el andén, su velocidad longitudinal es $u = u' + v = 0 + 3 = 3\ \mathrm{m/s}$, exactamente la de la mano, de modo que ambas coinciden al terminar el vuelo.

Posición, velocidad y trayectoria dependen del sistema. ¿Hay algo igual para ambos observadores? Sí, y es fundamental, porque sobre ello se construyen las leyes físicas.

Intervalos de tiempo. Ambos usan el mismo $t$, así que coinciden en cuánto dura un suceso; por ejemplo, los 1,22 segundos que la pelota pasa en el aire, mostrados en la barra temporal de la sección 7. Es la suposición mencionada en la sección 5.

La distancia entre dos objetos en un mismo instante. En el instante $t$, el observador azul mide dos puntos del vagón en $x'_A$ y $x'_B$. El naranja mide $x_A = x'_A + vt$ y $x_B = x'_B + vt$, por lo que

$vt$ se cancela, igual que la posición del origen $a$ en la sección 3. Ambos coinciden, por ejemplo, en que el vagón mide 12 metros.

El cambio de velocidad. Si el caminante acelera de $u'_1$ a $u'_2$ respecto al vagón, el andén ve pasar su velocidad de $u'_1 + v$ a $u'_2 + v$. El cambio medido desde el andén es

Ambos observadores ven el mismo cambio de velocidad en el mismo tiempo. El cambio de velocidad por segundo se llama aceleración, por lo que ambos miden la misma aceleración. Mientras $v$ permanezca constante, la velocidad del vagón $v$ desaparece del cálculo.

Esto tiene consecuencias importantes. Las leyes de movimiento de la página siguiente relacionan las fuerzas con el cambio de velocidad, no con la velocidad misma. En este modelo newtoniano, cambiar a un sistema con movimiento uniforme relativo no cambia las fuerzas de interacción. Como todos esos observadores miden el mismo cambio de velocidad, obtienen las mismas leyes. Galileo lo describió en 1632 mediante un barco: enciérrate bajo cubierta con moscas y mariposas, una pecera y una botella que gotee sobre un recipiente. Tanto en puerto como navegando suavemente a velocidad constante, las mariposas vuelan igual en todas las direcciones, los peces no prefieren proa ni popa, las gotas caen verticalmente al recipiente y lanzar una pelota a un amigo no exige más esfuerzo en una dirección. Dentro del camarote, nada permite saber si el barco se mueve.

Probémoslo con el vagón. Oculta el exterior y compara el vagón parado con otro que avance a 3 metros por segundo. Los lanzamientos se ven idénticos porque lo son en el sistema del vagón: mismo $x'$, misma altura y mismo tiempo. Solo al mostrar la estación puedes distinguir cuál se mueve.

«Un experimento realizado dentro de un sistema en movimiento no permite detectar su movimiento uniforme» es el principio de relatividad. Responde a nuestra pregunta inicial: «¿Se mueve realmente el tren o el andén?». Ningún experimento puede decidir esa respuesta: para las leyes del movimiento, el sistema del andén y los que se mueven uniformemente respecto a él son igualmente válidos.

Hasta ahora suponíamos movimiento uniforme. Hagamos que el vagón acelere desde el reposo y aumente su velocidad $0.6\ \mathrm{m/s}$ cada segundo, con aceleración $a = 0.6\ \mathrm{m/s^2}$. Cambiar la velocidad en la misma cantidad cada segundo es aceleración uniforme; $a$ es la aceleración. Su unidad, «metros por segundo añadidos cada segundo», se escribe $\mathrm{m/s^2}$. Partiendo de cero y aumentando $a$ cada segundo, tras $t$ segundos la velocidad es

Sobre el suelo del vagón hay un carrito naranja con ruedas libres. Rueda con tanta facilidad que el suelo apenas puede empujarlo hacia delante o atrás. Reproduce el experimento y míralo desde ambos sistemas.

Desde el andén, el carrito no hace nada. Nada lo empuja a lo largo de la vía, así que permanece a 9 metros de la farola mientras el vagón avanza cada vez más rápido por debajo. Eso es lo esperado si un cuerpo conserva su velocidad, aquí cero, cuando no hay empujes ni tirones. Desde el vagón, en cambio, el carrito rueda hacia atrás cada vez más deprisa, sin que nada lo empuje en esa dirección.

Podemos calcular su velocidad respecto al vagón. La regla de los dos tramos de la sección 5 vale en cada instante, haga lo que haga el vagón: la lectura del carrito en el andén es la del extremo trasero más la del carrito dentro del vagón. Por tanto, en un intervalo pequeño, su desplazamiento respecto al andén es el del extremo trasero más el relativo al vagón. Dividiendo por ese pequeño tiempo, obtenemos $u = u' + v$ en ese instante, donde $v$ es la velocidad instantánea del vagón. El andén mide $u = 0$ para el carrito, así que

En el sistema del vagón, la velocidad del carrito cambia $-a$ cada segundo sin ninguna fuerza longitudinal. Aquí falla «un cuerpo sin fuerza conserva su velocidad». Los sistemas donde sí vale son sistemas de referencia inerciales. Otro que se mueva uniformemente respecto a uno inercial también lo es, porque ambos miden los mismos cambios de velocidad, como vimos en la sección 8. El vagón acelerado no es un sistema inercial. Sus ocupantes sienten un empuje hacia atrás. Para seguir usando allí la ecuación de fuerza neta y aceleración, añadimos una fuerza de inercia, o fuerza ficticia, opuesta a la aceleración del sistema. Compensa en el cálculo la aceleración de las coordenadas; no es otro objeto empujando el carrito hacia atrás. La Tierra gira y orbita alrededor del Sol, por lo que el andén tampoco es estrictamente inercial, pero esos efectos son imperceptibles en este experimento. Las leyes del movimiento se cumplen en sistemas inerciales, que usaremos en la página siguiente.

Volvamos a la regla $u = u' + v$ que nos ha ayudado desde la sección 6. Supongamos que el observador azul enciende una luz en la parte delantera y la dirige hacia delante. Desde el vagón, la luz sale aproximadamente a $300\,000\ \mathrm{km/s}$. ¿Debería el observador naranja medir $300\,000\ \mathrm{km/s}$ más la velocidad del vagón?

Nuestra regla dice que sí, pero los experimentos precisos dicen que no: cada observador inercial, usando su propia regla y reloj, mide la misma velocidad de la luz en el vacío. Fue una de las grandes sorpresas de la física. Significa que nuestra suposición de un mismo tiempo $t$ solo es aproximada. La página Invariancia de la velocidad de la luz comienza aquí. Para personas, pelotas y carritos, cuyas velocidades son insignificantes frente a la luz, estas reglas son mucho más precisas de lo que podemos medir en la estación.