Movimiento, gravedad y dilatación temporal

01Dos relojes normales pueden acumular tiempos distintos

Lleva un reloj de viaje y deja otro idéntico en casa. Ajústalos al mismo valor al salir y, al regresar, compáralos juntos. En algunos viajes pueden discrepar sin estar averiados: **uno acumula menos tiempo transcurrido**. Esa diferencia se llama **dilatación del tiempo**.

Relojes con movimientos distintos o bajo condiciones gravitatorias distintas pueden registrar duraciones distintas, aunque ambos funcionen bien. Compararlos exige precisar con qué suceso empieza y termina cada medición. Con comparaciones definidas calcularemos el efecto del movimiento y estudiaremos la gravedad. Esta página presupone «Constancia de la velocidad de la luz»: todos los observadores inerciales miden la misma velocidad de la luz en el vacío; el capítulo 3 parte de ello.

Un reloj cuenta sucesos físicos repetidos: oscilaciones de un péndulo o de un oscilador electrónico, o una transición atómica determinada en un reloj atómico. El tiempo registrado a lo largo del recorrido del propio reloj se llama tiempo propio. Propio significa perteneciente a esa trayectoria, no más correcto que el de otro reloj.

Junto a tu propio reloj, los procesos locales normales siguen siendo normales. Viajar rápidamente respecto a la Tierra no hace que tu pulso deje de concordar con el reloj. Las diferencias aparecen al comparar trayectorias completas o al elegir un sistema y corregir la propagación de señales para comparar ritmos.

02Recibir tarde una imagen es otra cuestión

Un reloj lejano emite un destello cada segundo y la luz tarda en llegar. Si se aleja, cada destello posterior recorre una distancia adicional. Los intervalos de recepción incluyen el efecto de propagación; la imagen directa de un reloj móvil no es sin más una lectura de dilatación temporal.

Una comparación clara hace coincidir los relojes al principio y al final. Otra usa una fila de relojes en reposo en el laboratorio, sincronizados por un método preciso. Aquí enviamos luz al reloj lejano y la reflejamos de vuelta; asignamos a la reflexión el punto medio entre emisión y regreso. En el sistema inercial del laboratorio, la luz tiene igual velocidad en ambos sentidos.

Un sistema de referencia proporciona mediciones coherentes de posición y tiempo. En uno inercial, los cuerpos libres sin fuerza externa conservan movimiento rectilíneo uniforme. En el primer cálculo, los dos sistemas se mueven uniformemente entre sí y despreciamos la gravedad.

03Construir un reloj cuyo funcionamiento podamos ver

Colocamos un espejo encima de otro y hacemos rebotar un pulso entre ambos. $L$ es la separación y $c$, la velocidad de la luz en el vacío. La media ida recorre una separación; distancia es velocidad por tiempo, así que $L=c\Delta\tau$. El símbolo triangular $\Delta$ indica diferencia o intervalo y $\tau$, el tiempo propio del reloj. Dividiendo entre $c$ obtenemos $\Delta\tau=L/c$.

Usamos dos principios físicos: los observadores inerciales aplican las mismas leyes y todos miden la misma velocidad de la luz en el vacío $c$. Son principios contrastados de la relatividad especial. La luz no hereda una velocidad horizontal adicional de su fuente móvil mediante una suma ordinaria de velocidades.

04Calcular la duración con los tres lados del triángulo

Sea $\Delta t$ la duración de la media ida en el laboratorio. El reloj se desplaza horizontalmente a $v$, por lo que la base naranja mide $v\Delta t$. La luz sigue propagándose a $c$: la hipotenusa dorada mide $c\Delta t$. El lado vertical azul es la separación $L$, transversal al movimiento e invariable. Ambos sistemas paralelos usan la misma escala transversal; la simetría espacial y su equivalencia excluyen escalas transversales diferentes. Si hubiera un factor positivo $K$, intercambiar sistemas solo invertiría el movimiento y la simetría daría el mismo $K$. Ir y volver debe recuperar la longitud, así que $K^2=1$ y $K=1$. Los tres lados forman, por tanto, un triángulo rectángulo.

El argumento de áreas muestra que el cuadrado del lado más largo de un triángulo rectángulo es la suma de los otros dos: $d^2=a^2+b^2$. En nuestro recorrido, el más largo es la hipotenusa dorada $c\Delta t$; los cortos son la altura azul $L$ y la base naranja $v\Delta t$. Sustituimos esos lados en la relación.

Queremos despejar la duración del laboratorio. Restamos a ambos lados el cuadrado del desplazamiento horizontal y reunimos los dos términos temporales. Extraemos el cuadrado del tiempo como factor común, dividimos entre su coeficiente y tomamos la raíz cuadrada. La duración transcurrida es positiva, así que elegimos la raíz positiva.

Ya obtuvimos $L/c=\Delta\tau$. Lo sustituimos y llamamos $\gamma$ al factor repetido para abreviar. Un reloj con masa requiere $|v|<c$ para que el interior de la raíz sea positivo.

Cuando $v=0.6c$, el cuadrado de la razón de velocidades es $0.36$. Al restarlo de $1$ queda $0.64$; su raíz es $0.8$, así que $\gamma=1/0.8=1.25$. Para dos sucesos del reloj móvil, si el laboratorio asigna $1\ \text{s}$, el reloj registra $0.8\ \text{s}$. Un recorrido luminoso más largo a igual velocidad exige una duración mayor medida por el laboratorio.

05¿Por qué también ocurre con los relojes atómicos?

El reloj de luz hace visible el cálculo, pero la relatividad especial se refiere a todas las leyes físicas locales. Calibra juntos un reloj de luz y otro atómico y llévalos uno junto al otro. Si el movimiento uniforme cambiara por sí solo sus ritmos relativos, alguien en una habitación cerrada detectaría una velocidad absoluta especial comparándolos, contradiciendo el principio de relatividad adoptado. Por eso los relojes ideales que siguen la misma trayectoria registran el mismo tiempo propio.

Los relojes reales pueden sufrir efectos de temperatura, esfuerzos mecánicos o aceleraciones que alteren su mecanismo. Hay que controlarlos experimentalmente. La predicción se refiere a relojes ideales o a relojes reales con esas perturbaciones medidas y corregidas.

06¿Es contradictorio que ambos digan que el otro reloj va más lento?

Ambos pueden obtener ese resultado si cada uno usa su propia fila de relojes sincronizados en reposo. Las dos comparaciones eligen parejas de sucesos distintas. El laboratorio selecciona dos sucesos del reloj viajero y los mide con dos relojes por los que pasa; el viajero selecciona dos sucesos de un reloj del laboratorio y usa su sincronización. Distintos sistemas pueden discrepar sobre qué sucesos lejanos son simultáneos.

No significa que, en un mismo encuentro, cada lectura sea menor que la otra. Un encuentro da una sola pareja de lecturas locales. Para comparar claramente duraciones acumuladas, organizamos dos encuentros. El reloj que sale y regresa no puede permanecer todo el viaje en un único sistema inercial. Dibujemos su trayectoria completa sin confundirla con dos historias inerciales perfectamente equivalentes.

07Calcular el viaje completo

Con la velocidad predeterminada, el sistema de casa asigna $5$ años a cada trayecto. Un año luz es la distancia recorrida por la luz en un año, por lo que el punto de retorno está a $0.6\times5=3$ años luz. El reloj viajero acumula $5\sqrt{1-0.6^2}=5\times0.8=4$ años por tramo. Sumando, registra $4+4=8$ años frente a $5+5=10$ del reloj de casa.

El giro rompe la simetría entre historias, pero no es un dispositivo misterioso que quite de golpe dos años. En el modelo ideal, la lectura es continua durante el cambio de sentido; la diferencia procede de sumar tiempos propios a lo largo de cada camino. Un giro real gradual puede dividirse en tramos tan breves que sean aproximadamente uniformes y sumar sus duraciones usando la misma regla local.

08La gravedad produce otra diferencia de ritmo

Fija dos relojes a distintas alturas, sin órbitas ni movimiento respecto a la fuente: sus ritmos aún pueden diferir. Para relojes estáticos fuera de una fuente esféricamente simétrica y sin rotación, durante el mismo intervalo temporal estático el de menor radio acumula menos tiempo propio. Permanecer estático exige apoyo o cohetes; estos relojes no están en caída libre.

Importan el potencial gravitatorio y la trayectoria completa, no solo la fuerza local. En un campo estático débil, una diferencia de potencial indica la energía por unidad de masa necesaria para elevar lentamente un objeto entre posiciones. Compara dos lugares; la aceleración local describe el cambio en uno. Aceleraciones gravitatorias locales iguales no garantizan iguales relaciones entre relojes. Incluso coordenadas aceleradas en espacio-tiempo plano pueden dar distintos ritmos a relojes estáticos en posiciones diferentes. La diferencia de ritmos sola no determina por completo la curvatura.

09Fijar el modelo gravitatorio y deducir la razón de ritmos

Especifiquemos la ley geométrica: la geometría exterior de Schwarzschild de la relatividad general, para una fuente aislada, esféricamente simétrica, sin rotación ni carga, con relojes fuera de la materia y del horizonte. Deducirla de las ecuaciones de Einstein es otro problema. Aquí la adoptamos explícitamente como modelo físico dado; no afirmamos que el triángulo del reloj de luz ya la haya demostrado.

La coordenada radial $r$ se define de modo que la circunferencia máxima de la esfera correspondiente sea $2\pi r$. Definimos la escala de longitud de la fuente $r_s=2GM/c^2$, con constante gravitatoria $G$ y masa $M$. Elegimos $t$ para coincidir con el reloj estático muy lejano. Para un reloj de posición fija, la geometría prescribe la relación siguiente entre un pequeño intervalo coordenado $dt$ y su intervalo propio $d\tau$; $d$ indica intervalos pequeños.

Cancelamos el factor positivo común $c^2$, tomamos la raíz positiva y dividimos entre $dt$. Como $r$ es fijo, el factor permanece constante; al sumar intervalos sucesivos, las duraciones finitas mantienen la misma proporción.

Aplicamos la fórmula a menor y mayor radio. Dividimos ambas expresiones y cancelamos el tiempo coordenado común: queda la razón entre los tiempos realmente acumulados.

Los radios predeterminados son $r_{\mathrm{lower}}=2r_s$ y $r_{\mathrm{upper}}=8r_s$. Calculamos $1-1/2=1/2$ y $1-1/8=7/8$; su cociente es $(1/2)/(7/8)=4/7$ y la raíz, aproximadamente $0.7559$. Así, en esta comparación estática, diez segundos del reloj superior corresponden a $10\sqrt{4/7}\approx7.559$ segundos del inferior.

10Del modelo ampliado a las mediciones reales

Cerca de la Tierra, las diferencias relativas por alturas cotidianas son diminutas. NIST y JILA comunicaron en 2022 una diferencia de frecuencia gravitatoria medida en una muestra atómica de escala milimétrica. Compararon ritmos atómicos con enorme precisión; no vieron una aguja frenarse a simple vista. Es evidencia experimental con relojes reales, no solo un dibujo geométrico.

Si el reloj también se mueve, hay que considerar conjuntamente movimiento y geometría gravitatoria. Debemos especificar su camino y acumular tiempo propio con coordenadas coherentes. Multiplicar sin más distintos factores de ralentización, sin comprobar referencias y condiciones, puede dar una respuesta errónea. La pregunta sigue siendo la inicial: ¿cuánto registró cada reloj durante todo su recorrido?

11Distinguir tres tipos de comparación

Fuentes y función de los modelos

Los pasos matemáticos pueden comprobarse uno a uno. Los principios físicos y las pruebas experimentales pueden consultarse en los artículos originales, explicaciones institucionales e informes de medición siguientes. Las figuras se crearon para esta lección; no son fotografías del espacio-tiempo.

• Einstein & Minkowski · The Principle of Relativity (original papers, English translation)
• Max Planck Institute · The case of the travelling twins
• NIST / JILA · Gravitational redshift measured across a millimetre
• Sean Carroll · The Schwarzschild solution (GR lecture notes)