Por qué necesitamos el espacio-tiempo de Minkowski

01El espacio-tiempo estudia la geometría entre sucesos

«Nos vemos en la estación» no dice cuándo; «a las tres» no dice dónde. Un **suceso necesita ambas cosas**. En una habitación, **tres números independientes localizan un destello**: izquierda-derecha, delante-detrás y arriba-abajo. **El cuarto indica cuándo ocurre**. **Independientes** significa que conocer las tres posiciones no determina el tiempo.

El espacio-tiempo de Minkowski es la geometría plana del espacio-tiempo utilizada en relatividad especial. Sus puntos son sucesos, con lugar y tiempo. Un observador inercial usa un sistema donde los cuerpos libres sin fuerzas externas conservan movimiento rectilíneo uniforme. Distintos observadores asignan coordenadas diferentes al mismo suceso, pero coinciden en un intervalo con signo, que calcularemos en el capítulo 8, y en qué sucesos pueden influir en cuáles. Continuamos «Constancia de la velocidad de la luz» y «Dilatación del tiempo»: todos los observadores inerciales miden la misma velocidad de la luz y los relojes móviles registran tiempos distintos. Construiremos esta descripción paso a paso desde ese acuerdo.

Llamar cuarta coordenada al tiempo no lo convierte en una cuarta dirección espacial. Aquí la dimensión cuenta las coordenadas independientes necesarias para identificar un suceso. Veremos que el tiempo interviene en la regla de medida de forma distinta al espacio. Contar cuatro es solo el comienzo.

02Posición horizontal y tiempo vertical

Para facilitar la lectura fijamos las otras dos coordenadas espaciales y las omitimos. Cada punto es un suceso breve, no un objeto completo. Al unir los sucesos de un objeto obtenemos su línea de universo: su historia en el diagrama. Si espera en el mismo lugar, cambia el tiempo pero no la posición y la línea es vertical; si avanza por la calle, la línea se inclina.

Nada tiene que moverse físicamente hacia arriba del papel. Al graficar temperaturas sobre fechas tampoco convertimos la temperatura en dirección espacial. Un diagrama espacio-temporal coloca una magnitud no espacial sobre un eje; su contenido físico está en las relaciones entre mediciones.

03¿Por qué suele escribirse $ct$ en el eje temporal?

La distancia puede medirse en metros y el tiempo en segundos. Para comparar sus funciones en una misma regla geométrica, igualamos primero las unidades. La velocidad de la luz en el vacío, $c$, es distancia dividida entre tiempo, así que tiempo por $c$ tiene unidades de longitud. Escribimos esa coordenada temporal convertida como $q=ct$. Cambian las unidades, no la naturaleza física del tiempo.

Un segundo luz se define como $c$ multiplicado por un segundo. Después de $3\ \text{s}$, la coordenada $ct$ es $3$ segundos luz. No significa que alguien que espera haya caminado tres segundos luz por el espacio; solo convertimos la etiqueta temporal mediante una velocidad universal.

La luz emitida en el origen recorre $ct$ durante $t$. En la única dirección espacial conservada, sus dos caminos cumplen $x=ct$ y $x=-ct$. Con la misma escala de longitud en ambos ejes, son dos diagonales igual de inclinadas. El cono de luz parte de esta relación entre distancia, velocidad y tiempo.

04Usar la luz para distinguir sucesos conectables

Para llegar a la posición $x$ en el tiempo $t$, un viajero uniforme necesita $v=x/t$. Dividiendo entre $c$ obtenemos $v/c=x/(ct)$. Si el valor absoluto de esa proporción es menor que uno, existe un camino más lento que la luz; si es uno, la conexión directa es de tipo luz; si es mayor, exige superar la luz. Al incluir todas las direcciones espaciales, las posibles direcciones luminosas forman el cono; aquí vemos un corte.

Para sucesos futuros comparamos $(ct)^2$ y $x^2$. Elevar al cuadrado elimina el signo izquierda-derecha sin cambiar la comparación de magnitudes. Su diferencia es positiva dentro del cono, cero en el límite luminoso y negativa fuera: son intervalos de tipo tiempo, luz y espacio, respectivamente. Tipo espacio no significa que los sucesos carezcan de tiempo, sino que describe su relación.

05Añadir un eje temporal no basta para obtener geometría de Minkowski

La mecánica newtoniana también permite dibujar posición y tiempo. La relatividad especial cambia cómo se relacionan las mediciones inerciales: aunque los sistemas se muevan entre sí, todos miden la misma velocidad de la luz en el vacío. La regla antigua de restar la velocidad del sistema a todas las velocidades sin cambiar el tiempo no conserva simultáneamente la velocidad de la luz hacia ambos lados.

Por ejemplo, esa regla escribiría $x^{\prime}=x-vt$ y $t^{\prime}=t$. Sustituir el camino luminoso hacia la derecha $x=ct$ da $x^{\prime}=(c-v)t^{\prime}$, y el nuevo sistema mediría $c-v$ en lugar de $c$. Necesitamos transformar conjuntamente posición y tiempo. Vamos a deducirlo, sin suponer de antemano que algún intervalo sea invariante.

06Construir la transformación paso a paso

Usamos $q=ct$ y $\beta=v/c$; por tanto, $\beta$ es la razón respecto a la velocidad de la luz con signo direccional. Las primas indican números del sistema móvil. Elegimos que los orígenes coincidan cuando ambos relojes marcan cero. Suponemos espacio y tiempo homogéneos, movimiento inercial rectilíneo uniforme y la misma calibración. Estas hipótesis exigen una transformación lineal: los mismos incrementos deben producir iguales incrementos transformados, independientemente de dónde o cuándo empecemos. Una regla no lineal haría depender la conversión del lugar o del instante.

El origen móvil sigue $x=vt=\beta q$ y sus propias coordenadas deben cumplir $x^{\prime}=0$. Una expresión lineal con ese cero es $x^{\prime}=A(x-\beta q)$; falta determinar $A$. La expresión temporal lineal general es $q^{\prime}=Dq+Ex$. Exigimos que la luz conserve su velocidad en ambos sentidos para hallar los coeficientes $D,E$.

La luz hacia la derecha cumple $x=q$ y en las coordenadas nuevas debe cumplir $x^{\prime}=q^{\prime}$. Sustituimos y cancelamos $q$ para obtener la primera ecuación. La luz hacia la izquierda cumple $x=-q$ y exige $x^{\prime}=-q^{\prime}$, dando la segunda. Sumamos ambas para hallar $D$ y restamos la segunda a la primera para hallar $E$.

Obtenemos así $q^{\prime}=A(q-\beta x)$. Para determinar $A$ intercambiamos los sistemas. Por el principio de relatividad, ambos usan la misma regla de escala, y cambiar el sentido espacial no cambia esa escala: $A(-\beta)=A(\beta)$. La transformación espacial inversa es $x=A(x^{\prime}+\beta q^{\prime})$. Sustituimos las dos expresiones anteriores.

La relación debe valer para todo $x$, así que el factor de $x$ debe ser uno: $A^2(1-\beta^2)=1$. Dividimos entre el positivo $1-\beta^2$ y tomamos la raíz positiva que conserva el sentido temporal y la escala a velocidad cero. Llamamos $\gamma$ al factor obtenido.

Esta es la transformación de Lorentz en una dirección espacial. Observa $-\beta x$ en la fórmula temporal: el cambio de coordenada temporal también depende de la posición. Por eso distintos sistemas agrupan sucesos lejanos en distintos ahoras. Dividir $q^{\prime}$ entre $c$ da también $t^{\prime}=\gamma(t-vx/c^2)$.

07Ver cambiar las coordenadas sin cambiar el suceso

El suceso predeterminado tiene $x=3$ y $q=5$. Tomando $\beta=0.6$ obtenemos $\gamma=1/\sqrt{1-0.36}=1.25$, así que $x^{\prime}=1.25(3-0.6\times5)=0$ y $q^{\prime}=1.25(5-0.6\times3)=4$. El observador móvil llega al suceso en su propio origen espacial. Con segundos luz como unidad de longitud, su tiempo es cuatro segundos; el laboratorio original le asigna cinco segundos y una posición de tres segundos luz.

¿Por qué se inclinan los ejes de colores? En el eje temporal móvil se cumple $x^{\prime}=0$, que por la transformación recién deducida equivale a $x=\beta q$. En el espacial, $q^{\prime}=0$, así que $q=\beta x$. Los sucesos simultáneos al seleccionado mantienen $q^{\prime}$ constante y cumplen $q-\beta x=\text{constante}$. Dibujamos las rectas con esas ecuaciones; no es una rotación ordinaria de ejes perpendiculares en el papel.

08Encontrar lo que todos estos sistemas conservan

Si cambian las coordenadas, ¿hay alguna combinación que siga igual? En el límite luminoso coinciden los dos cuadrados de longitud, así que probamos la diferencia $q^2-x^2$. Sustituimos la transformación y desarrollamos los cuadrados, conservando los términos cruzados hasta el paso en que realmente se cancelan.

El último paso usa $\gamma^2=1/(1-\beta^2)$: ambos factores multiplican uno. La cantidad con signo $s^2=q^2-x^2$ se llama intervalo espacio-temporal al cuadrado; adoptamos el convenio de término temporal positivo. $s^2$ es una notación tradicional que puede ser negativa para intervalos de tipo espacio, de modo que no siempre es el cuadrado de una longitud real ordinaria.

Para dos sucesos cualesquiera utilizamos sus diferencias de coordenadas: $\Delta x=x_2-x_1$ y $\Delta t=t_2-t_1$. La transformación es lineal y el mismo álgebra sigue valiendo. ¿Por qué la distancia espacial al cuadrado es $\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2$? El triángulo rectángulo horizontal da $\Delta x^2+\Delta y^2$. Esa distancia horizontal y la diferencia vertical forman otro triángulo rectángulo, así que añadimos $\Delta z^2$. La regla completa queda como se muestra abajo.

Con ejes paralelos y calibrados igual, una transformación en la dirección $x$ conserva las coordenadas transversales $y,z$; por tanto, la cancelación anterior demuestra que también se conserva la expresión completa. Podemos comprobar la escala transversal: supongamos un factor positivo $K$. La equivalencia entre observadores y la simetría espacial dan el mismo factor para la transformación inversa. Ir y volver da $K^2=1$, así que $K=1$. Las rotaciones espaciales conservan la suma de los tres cuadrados espaciales. Combinarlas con estas transformaciones cubre movimientos inerciales relativos en cualquier dirección. La regla de medida se llama métrica de Minkowski: una métrica es una regla para calcular intervalos a partir de diferencias de coordenadas.

09¿Por qué el tiempo no es un cuarto eje espacial?

En el espacio ordinario, los cuadrados de distancias perpendiculares se suman con el mismo signo; aquí el término temporal tiene el signo opuesto a los tres espaciales. Cambiar todos los signos también es un convenio habitual, pero sigue habiendo uno distinto de los otros tres. El cálculo de Lorentz explica por qué se conserva esta regla al cambiar de observador; dibujar otro eje vertical no demuestra el resultado.

La diferencia de signos hace que la luz tenga intervalo nulo, incluso entre sucesos distintos; distingue sus categorías causales y hace depender de la trayectoria el tiempo acumulado por un reloj. Una rotación espacial mezcla direcciones conservando una suma de cuadrados; cambiar de observador inercial mezcla espacio y tiempo conservando una diferencia con signo. No son la misma operación.

Para un intervalo futuro de tipo tiempo, $q>0$ y $|x|<q$. La fórmula da $q^{\prime}=\gamma q(1-\beta x/q)$. Como $|\beta|<1$ y $|x/q|<1$, el producto $\beta x/q$ está estrictamente entre −1 y 1. Por tanto, $1-\beta x/q>0$ y $q^{\prime}$ sigue siendo positivo. Cambiar de sistema inercial no permite invertir el orden de una causa y un efecto propagado a menos de la velocidad de la luz.

10Recuperar la lectura del reloj viajero a partir del intervalo

Para un tramo recto de tipo tiempo, elegimos el sistema que acompaña al reloj. Inicio y final tienen la misma posición espacial, así que $\Delta x^{\prime}=0$; la duración coordenada es su tiempo propio $\Delta\tau$. En ese sistema, el intervalo es $s^2=c^2\Delta\tau^2$. Usamos su invariancia para igualarlo a la expresión del laboratorio.

Dividimos entre $c^2$ y el término de desplazamiento lleva $1/c^2$. Sustituimos $\Delta x=v\Delta t$, extraemos el factor común $\Delta t^2$ y tomamos la raíz positiva para hallar la duración. Para el suceso situado a tres segundos luz tras cinco segundos, el tiempo propio es $\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4$ segundos. Así adquieren significado físico las lecturas del experimento: un reloj que viaja uniformemente desde el origen hasta ese suceso registra esa duración.

Si la trayectoria cambia de velocidad, calcular solo a partir de los extremos no da todo el tiempo vivido. La dividimos en tramos muy cortos, aproximadamente rectos, calculamos el tiempo propio positivo de cada uno y los sumamos. Al afinar la división obtenemos el valor de la trayectoria continua. Dos caminos pueden compartir extremos y acumular duraciones distintas. El intervalo entre extremos y el tiempo de una trayectoria están relacionados, pero no son intercambiables.

11¿Qué más significa plano en la definición?

Plano no significa que todas las líneas de universo sean rectas ni que se elimine el tiempo. Significa que la geometría carece de curvatura espacio-temporal. En coordenadas inerciales estándar, la misma regla de medida de Minkowski vale en toda la región. Un cuerpo acelerado puede tener una línea de universo curva en esa geometría plana, igual que un coche puede girar sobre una carretera plana.

La relatividad general usa geometrías más amplias. En una región de caída libre suficientemente pequeña, la geometría de Minkowski es una aproximación local; en una región curva más extensa necesitamos una métrica que varíe con la posición. Esta lección aporta el lenguaje local de relojes, conos de luz y sucesos para el espacio-tiempo curvo; no afirma que toda situación gravitatoria sea globalmente de Minkowski.

12Comprueba qué permiten concluir estas relaciones geométricas

Fuentes y función de los modelos

Los pasos matemáticos pueden comprobarse uno a uno. Los principios físicos y las pruebas experimentales pueden consultarse en los artículos originales, explicaciones institucionales e informes de medición siguientes. Las figuras se crearon para esta lección; no son fotografías del espacio-tiempo.

• Einstein & Minkowski · The Principle of Relativity (original papers, English translation)
• Stanford Gravity Probe B · Einstein’s Spacetime
• Sean Carroll · The Schwarzschild solution (GR lecture notes)