集合的引入

集合是由一些元素组成的整体。“组成整体”就是把一些东西归成一组；“元素”就是这一组里的一个东西。比如一个苹果可以是一个元素，我们可以把它放进一个集合里。

我们把这个集合写成 $\{\text{苹果}\}$。一对大括号 $\{\ \}$ 表示“一个集合”，括号中间写的是它的元素，元素之间用逗号隔开。所以 $\{\text{苹果}, \text{球}\}$ 是有两个元素的集合。

可以用一个盒子来想象它。下面模型里，盒子的两端就是 $\{$ 和 $\}$ 的形状：盒子的墙就是大括号。盒子里什么都能放，一个苹果、一个球、一只玩具狗都可以。在数学里，我们通常放的是数，比如 $2$ 和 $5$。

点一下物品或它的按钮，就把它放进盒子；再点一下，就把它拿出来。盒子下方会跟着写出这个集合。

我们通常用一个大写字母给集合起名字，比如 $A = \{\text{苹果}, \text{球}\}$。要说“苹果在 $A$ 里”，就写 $\text{苹果} \in A$，符号 $\in$ 读作“属于”。要说狗不在 $A$ 里，就把这个符号划掉：$\text{狗} \notin A$。

第一条规则：集合记录的是有哪些元素，不记录它们摆在哪里，也不记录放入的顺序。比如“苹果、球”和“球、苹果”说到的都是同样的两个元素。因此，集合列表里的顺序变了，集合并没有变。真实盒子里的物品还有位置，但我们用集合记录时，特意不记录这些位置。

往上面的盒子里放几样东西，再按“摇一摇盒子”。东西换了位置，盒子下方会按新的从左到右的顺序重新读出集合。顺序变了，可是没有东西放进去，也没有东西拿出来，所以还是同一个集合：$\{\text{苹果}, \text{球}\} = \{\text{球}, \text{苹果}\}$。

第二条规则：元素必须是确定的。第二条规则。我们还没说元素必须是什么样的。苹果没问题，它是一个你清楚知道的东西。可是假如你想放进去“我昨天在街上看到的一个东西”。你昨天在街上可能看到了很多东西，到底放哪一个？

只凭这句话，我们还不知道应当包括哪一个元素。需要把描述说具体，使“哪些东西算在里面”确定下来，不能换个人来读就换一套标准。这就是这里所说的确定性。判断某个东西是否符合规则，仍然可能需要调查或计算；要求的是规则确定，不是所有答案都要一眼看出。看看下面的说法是否给出了确定的标准。

第三条规则：同一个元素只算一次。现在区分物品和它代表的东西。两块木块是不同的物品，但这里都代表同一个数 $2$。我们记录的是数，所以放入第二块，并没有增加一个新的数：$2$ 已经在里面了。因此 $\{2,2\}=\{2\}$。如果我们要把每一块木块本身当作元素，就应当分别给它们名字，那会是两个元素。元素的个数，取决于我们把什么当作元素。

集合里也可以什么都没有。这很合理，盒子也可以是空的。这样的集合叫作空集，写成 $\{\}$，更常见的写法是 $\varnothing$。按“清空盒子”就能看到它。

什么都能当元素，所以 $2.2$、$\pi$、$0.00000024$ 这样的数都可以。现在假如我们想要“从 $2$ 到 $5$ 的所有数”组成的集合。我们没法一个个列出来：$2$ 和 $5$ 之间有 $2.2$、$2.21$、$2.211$……永远列不完。

整数、像 $1/3$ 这样的分数、像 $\pi$ 这样的数，都能在一条直线上找到自己的位置；这条线就是下面要画的数轴。能在数轴上找到位置的数，本课统称实数。$\pi$ 约等于 $3.14159$，是圆的周长除以经过圆心的直径得到的数。所有实数组成的集合记作 $\mathbb R$。

我们把所有实数放在一条直线上，这条线叫数轴。在线上选定一个点表示 $0$，并规定一个单位的长度。这样每个数都有自己的点：正数在 $0$ 的右边，负数在左边；离 $0$ 的距离按这个单位来量。

移动下面的滑块，数轴上的点会跟着移动。显示的坐标经过四舍五入，所以前面有约等号；再放大，可以查看附近的位置。屏幕和滑块只能显示有限个位置，但数轴不是由一串分开的点拼成的：随便取两个不同的数，它们之间总能再找到一个数。比如 $2$ 和 $5$，中点 $3.5$ 就在它们中间；$3.5$ 和 $5$ 之间还有 $4.25$。这样一直分下去，永远还能再分。画面只是这条线的一部分。

从 $2$ 到 $5$ 的所有实数，包括 $2$ 和 $5$，可以写成一个区间：$[2, 5]$。它表示 $2$ 和 $5$ 之间的每一个实数，再加上 $2$ 和 $5$ 本身。在数轴上，它是从 $2$ 到 $5$ 的整整一段，两端各画一个实心点。

有时候我们不想要某一端。圆括号表示“不包括”。所以 $(2, 5]$ 包括 $5$ 但不包括 $2$，$[2, 5)$ 包括 $2$ 但不包括 $5$，$(2, 5)$ 两端都不包括。在数轴上，不包括的一端画成空心点。

点一下端点，可以在实心和空心之间切换；用滑块移动两端。然后移动检验用的数，看它是否属于这个区间。

仔细看端点。$5 \in [2, 5]$，但 $5 \notin [2, 5)$。可是 $4.9$、$4.99$、$4.999$ 都在 $[2, 5)$ 里。这个区间离 $5$ 要多近有多近，只是不包括 $5$ 本身。

现在我们想把集合组合起来。用两个小集合：$A = \{1, 2, 3, 4\}$，$B = \{3, 4, 5, 6\}$。有一种图叫韦恩图会很有帮助：每个集合画成一个圆，元素写在圆里。

$3$ 和 $4$ 同时在两个集合里，所以两个圆有一块重叠，$3$ 和 $4$ 就写在重叠的部分。

把两个集合合在一起，得到并集，记作 $A \cup B$，读作“$A$ 并 $B$”。它包含在 $A$ 里、或在 $B$ 里、或两个都在的每一个元素。这里 $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$。$3$ 和 $4$ 只写一次，因为集合里的元素不重复。

重叠的部分叫交集，记作 $A \cap B$，读作“$A$ 交 $B$”。它只包含同时在 $A$ 和 $B$ 里的元素。这里 $A \cap B = \{3, 4\}$。如果两个集合没有共同的元素，它们的交集就是空集 $\varnothing$。

在下面选一种运算。它留下的部分会涂上颜色，结果写在图的下方。

有时候我们要的是去掉 $B$ 的元素以后的 $A$。这叫差集，记作 $A \setminus B$（也有书写成 $A - B$），读作“$A$ 减 $B$”。它留下 $A$ 里不在 $B$ 中的元素。这里 $A \setminus B = \{1, 2\}$。可是 $B \setminus A = \{5, 6\}$，所以这里先后顺序有关系。

最后一种运算，要先说清“全部”指什么。我们正在讨论的所有东西组成的集合叫全集，记作 $U$。在图里它是那个长方形：$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$。$7$ 和 $8$ 在 $U$ 里，但不在任何一个圆里。

$A$ 的补集是 $U$ 里所有不在 $A$ 中的元素，记作 $\complement_U A$。这里 $\complement_U A = \{5, 6, 7, 8\}$。它就是 $U \setminus A$：从全集里去掉 $A$。

区间也是集合，所以也可以把它们合起来、找重叠部分、从一个里去掉另一个。设 $A = [2, 5]$，$B = [4, 7]$。

两段在 $4$ 到 $5$ 之间重叠，所以合起来从 $2$ 到 $7$ 没有空隙：$A \cup B = [2, 7]$。它们共同的部分从 $4$ 到 $5$；$4$ 和 $5$ 都同时在两个区间里，所以 $A \cap B = [4, 5]$。

$A \setminus B$ 要从 $A$ 里去掉所有在 $B$ 中的数。这会去掉从 $4$ 到 $5$ 的全部，连 $4$ 本身也去掉，因为 $4 \in B$。剩下的部分从 $2$ 开始，到 $4$ 之前停下：$A \setminus B = [2, 4)$。圆括号在这里就派上了用场。

把全体实数 $\mathbb{R}$ 当作全集。$A$ 的补集是所有小于 $2$ 的数和所有大于 $5$ 的数。这两段都没有尽头。我们用符号 $\infty$（读作“无穷”）表示“一直延伸、没有尽头”。它不是一个数，所以总是配圆括号：补集是 $(-\infty, 2) \cup (5, +\infty)$。

沿数轴滑动 $B$，再选一种运算。注意答案的端点怎样在方括号和圆括号之间变化。