参数方程

01为什么不能一直把 $y$ 写成 $x$ 的函数？

函数 $y=f(x)$ 要求每一个允许取的 $x$ 都对应唯一的 $y$ 。例如 $y=x^{2}$ 中， $x=2$ 对应 $y=4$ 。现在我们把关系反过来，考虑所有满足 $x=y^{2}$ 的点。当 $x=4$ 时， $y=2$ 和 $y=-2$ 都可以，因为 $2^{2}=4$ ， $(-2)^{2}$ 也等于 4。可是同一个 $y=f(x)$ 不能在同一个 $x$ 上同时给出这两个 $y$ 。曲线并没有出问题，只是这一种描述方式不能一次包含它的全部。

这条曲线可以先选纵坐标。不如把选好的那个数记作 $t$ ，令 $y=t$ ，那么 $x=y^{2}$ 就变成 $x=t^{2}$ 。 $t=-2$ 时得到 $(4,-2)$ ， $t=2$ 时得到 (4,2)。我们没有丢掉任何一个点，因为不同的 $t$ 可以给出相同的 $x$ ，却给出不同的 $y$ 。

\begin{cases}x=t^2\\y=t\end{cases}\qquad t\longmapsto (t^2,t)

这个用来标记我们走到曲线上哪个位置的数，就是参数。写成 $t$ 只是取了一个名字；这里 $t$ 是我们选定的纵坐标，并不是时间，也不是第三个空间方向。 $x=f(t)$ 、 $y=g(t)$ 的意思是：选一个 $t$ ，把同一个 $t$ 分别代入两个式子，再把算出的两个数合成一个点。 $f$ 和 $g$ 的名字可以不同，因为两次计算可以不同； $t$ 必须相同，因为我们需要知道哪个 $x$ 应该和哪个 $y$ 配成一对。

这种写法并不要求曲线仍然能写成一个 $y=f(x)$ ，也不要求每个点只能对应一个 $t$ 。只要我们能给出两个坐标规则和共同的 $t$ 的取值范围，就可以用它们描述一条路径。普通函数也包含在里面：令 $x=t$ 、 $y=f(t)$ 就行。参数范围也是描述的一部分； $-2\le t\le 2$ 只给出 $x=y^{2}$ 上我们画出的这一段，并没有包含它无限延伸的部分。

02从表格的一行走到图上的一个点

第一次构造继续使用 $x=t^{2}$ 、 $y=t$ 。选 $t=-1.5$ ，得到 $x=(-1.5)\times (-1.5)=2.25$ ，而 $y=-1.5$ ，所以对应的点是 $(2.25,-1.5)$ 。图中的直角路径从原点向右到 $x=2.25$ ，接着向下到 $y=-1.5$ 。这条路径帮助我们定位一个点，不表示曲线在两次采样之间沿着直角路径运动。

点击“下一步”，依次检查计算、横向定位和纵向定位。金色标记跟着当前的一行，青色点则留在已经描好的位置。“逐点描画”会重复这些步骤，随时可以暂停；步骤滑块和表格按钮也可以直接停在我们想检查的地方。先保留横向抛物线，下面会接着解释圆的选项。

金色：正在定位的点青色：已经保留的点

选择一行，检查这一行的计算。小数显示为近似值。
$t$	$x$	$y$
-2	4	-2
-1.5	2.25	-1.5
-1	1	-1
-0.5	0.25	-0.5
0	0	0
0.5	0.25	0.5
1	1	1
1.5	2.25	1.5
2	4	2

坐标规则

x=t^2,\quad y=t,\quad -2\leq t\leq2

t = -2; x = (-2)² = 4; y = -2

先把这一个 $t$ 代入两个式子，分别算出 $x$ 和 $y$ 。表格的金色行就是接下来要描出的那一对坐标。

构造步骤0

九行全部画完后，我们手里仍然只有九个点。要画出点与点之间的部分，就需要继续把中间的 $t$ 代入 $x=t^{2}$ 、 $y=t$ 。我们还可以消去 $t$ 来检查形状： $y=t$ 给出 $t=y$ ，代入 $x=t^{2}$ ，得到 $x=y^{2}$ 。反过来， $x=y^{2}$ 上每一个满足 $-2\le y\le 2$ 的点，都可以用 $t=y$ 取到。这样从两边都检查过，才说明参数方程给出的正是这一整段曲线；有限的描点本身并不是证明。

03用同一个想法画一个圆

圆也有同样的困难：以原点为圆心、半径为 2 的圆，在 $x=0$ 时既有 $y=2$ ，也有 $y=-2$ 。我们不如用角度来标记位置。从 $x$ 轴正方向起逆时针量角，把这个角记作 $t$ ，并用弧度表示。弧度是弧长除以半径，一整圈是 $2\pi$ 弧度。单位圆上，余弦定义为点的横坐标，正弦定义为点的纵坐标。所以把两个坐标都乘以 2，就把点移到了半径为 2 的圆上。

x=2\cos t,\quad y=2\sin t,\quad 0\le t\le 2\pi

我们检查一下半径为什么不变。单位圆上的横向、纵向距离和半径组成直角三角形，斜边长为 1，由勾股定理得到 $\cos ^{2}t+\sin ^{2}t=1$ 。坐标有正负，可是平方后这一步在每个象限都成立。新的坐标因此满足 $x^{2}+y^{2}=4\cos ^{2}t+4\sin ^{2}t=4$ ，到原点的距离就是 $\sqrt{4}=2$ 。而 $t$ 走完一整圈时，每个方向都会经过，所以圆上的每一个点都能得到。

要看见这个直角三角形，就选择圆，检查表格第 2 行，再点两次“下一步”。横向和纵向的金色线段是互相垂直的两条边，连回原点的线段是半径。下面的距离推导也说明刚刚使用的勾股关系从哪里来。

推导上面使用的距离关系

取一个直角三角形，两条互相垂直的边长为 $a$ 、 $b$ ，斜边长为 $c$ 。把四个相同的三角形放进下面的大正方形，中间就留下一个边长为 $c$ 的小正方形。直角三角形的两个锐角合起来为 90°，所以小正方形的每个角都是直角。边长为 $a$ 、 $b$ 的长方形沿对角线可以分成两个相等的三角形，因此每个三角形面积为 $ab/2$ 。

\begin{gathered}(a+b)^2=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2\\a^2+2ab+b^2=2ab+c^2\\a^2+b^2=c^2\end{gathered}

大正方形的面积等于四个三角形的面积加上中间正方形的面积。展开 $(a+b)^{2}$ ，再从两边同时减去 $2ab$ ，就得到 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 。对于坐标 $x$ 、 $y$ ，两条垂直边的长度是 |x|、|y|，平方会消掉正负号，所以距离的平方为 $x^{2}+y^{2}$ 。这就是圆的计算在每个象限都适用的原因。

现在在上面的图中选择圆。 $t=0$ 时半径向右，得到 (2,0)； $\pi /2$ 时向上，得到 (0,2)； $\pi$ 时向左，得到 $(-2,0)$ ； $3\pi /2$ 时向下，得到 $(0,-2)$ ； $2\pi$ 时回到 (2,0)。每四分之一圈的中间，两段垂直距离相等。把单位圆上这两段正的距离都记作 $c$ ，那么 $c^{2}+c^{2}=1$ ，所以 $c^{2}=1/2$ ， $c=1/\sqrt{2}$ ；再乘以 2，就得到 $\sqrt{2}$ 。表格中整四分之一圈和八分之一圈的数值就是这样算出的，正负号由点所在的象限决定。

形状相同，走法却可以不同

$x^{2}+y^{2}=4$ 说明哪些位置在圆上，却没有说明走过一个点后应该走向哪里。参数方程另外给出了顺序。如果仍取 $0\le t\le 2\pi$ ，却希望走两圈，就可以写 $x=2\cos (2t)$ 、 $y=2\sin (2t)$ ：这里真正的角度 $2t$ 从 0 走到了 $4\pi$ 。如果希望反向走原来的一圈，把角度 $t$ 换成 $2\pi -t$ 就行，因为它会从 $2\pi$ 逐渐减到 0。画出来的圆相同，走法却不同。只有当我们另行规定 $t$ 的单位是秒时，对 $t$ 的变化率才表示实际速度；这里还没有赋予 $t$ 时间单位。

04两个坐标都随 $t$ 变化，斜率该怎么算？

一条直线的斜率是纵向变化量除以横向变化量，也就是 $\Delta y/\Delta x$ 。 $\Delta$ 表示变化量，并不是再乘一个数。对曲线，我们先取两个不同但相邻的点 $P$ 和 $Q$ ，画出经过它们的直线，这条直线就是割线。如果 $Q$ 沿曲线靠近 $P$ 时，割线斜率趋近于同一个有限的数，这个数就是导数值 $dy/dx$ ，经过 $P$ 且斜率为这个数的直线就是切线。我们要的是 $y$ 相对于 $x$ 的变化率，所以只算 $dy/dt$ 还没有回答问题。

回到 $x=t^{2}$ 、 $y=t$ 。把 $P$ 固定在参数 $t$ 处，把 $Q$ 放在 $t+h$ 处， $h$ 是同一个参数的一个非零变化量。于是 $P=(t^{2},t)$ ， $Q=((t+h)^{2},t+h)$ 。展开 $(t+h)(t+h)=t^{2}+2th+h^{2}$ 后，用 $Q$ 的坐标减去 $P$ 的坐标，得到 $\Delta x=2th+h^{2}$ 、 $\Delta y=h$ 。如果 $\Delta x$ 不为零，割线斜率就是 $h/(2th+h^{2})=1/(2t+h)$ ，约去不为零的 $h$ 后得到 $1/(2t+h)$ 。

\begin{aligned}\frac{\Delta y}{\Delta x}&=\frac{h}{2th+h^2}\\&=\frac1{2t+h}\\&\longrightarrow\frac1{2t}\\&\qquad(h\to0,\ t\ne0)\end{aligned}

金色实线：割线 PQ青色虚线：

P

处切线

P 处固定的参数 t1

先保持 $P$ 不动。分别从两侧选择更小但不为零的 $h$ ，观察 $Q$ 和实线割线。虚线切线来自下面推导的极限。

P = (1, 1)

Q = (2.25, 1.5)

Δx = 1.25; Δy = 0.5

割线: 0.4
切线: 0.5

例如把 $t$ 固定为 1，选 $h=0.5$ ，得到 $P=(1,1)$ 、 $Q=(2.25,1.5)$ ，所以 $\Delta x=1.25$ 、 $\Delta y=0.5$ ，割线斜率为 $0.5/1.25=0.4$ 。改成 $h=0.1$ ，同一个公式给出 $1/2.1\approx 0.47619$ 。当 $h$ 趋近于 0，分母趋近于 2，斜率便趋近于 $1/2$ 。有限 $h$ 的读数仍然是割线斜率，并不是准确导数值；是这个极限说明了虚线切线的斜率。

现在把同样的步骤用在一般的可微坐标规则 $x=f(t)$ 、 $y=g(t)$ 上。两个坐标变化都使用同一个非零 $h$ ；把 $\Delta y/\Delta x$ 的分子和分母同时除以这个 $h$ ，比值不变。当 $h$ 趋近于 0， $\Delta y/h$ 趋近于 $g'(t)$ ，也就是 $dy/dt$ ； $\Delta x/h$ 趋近于 $f'(t)$ ，也就是 $dx/dt$ 。当分母的极限不为零时，比值的极限才可以这样直接写成两个极限的比值： $dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)$ 。

\begin{gathered}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta y/h}{\Delta x/h}\\\Downarrow\\\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{g'(t)}{f'(t)}\\f'(t)\ne0\end{gathered}

这种记法很像约去了 $dt$ ，可是根据是刚刚推导出的变化量比值。如果 $x'=0$ 而 $y'\ne 0$ ，横向变化相对于纵向变化趋近于零，就会出现竖直切线，没有有限的 $dy/dx$ 。本例 $t=0$ 时， $\Delta x=h^{2}$ 、 $\Delta y=h$ ，横向变化除以纵向变化为 $h$ ，趋近于零，所以切线是 $x=0$ 。如果两个导数都等于零， $0/0$ 本身什么也判断不了，我们必须回到曲线的变化来检查。

选读：什么时候可以在

P

附近把

y

看成

x

的函数？

这里假定坐标导数在附近连续。那么当 $f'(t)$ 不为零时，对足够接近 $t$ 的参数，它会保持同一个正负号：连续变化的量不可能不经过零就从正变成负。于是 $x$ 在这一小段里只朝一个方向变化，附近每个 $x$ 只经过一次，我们才可以在局部把 $y$ 看成 $x$ 的函数。 $dy/dx$ 正是在这种情况下表示普通函数图像的斜率。

05积分仍然需要横向的宽度

现在我们尝试把曲线与 $x$ 轴之间的一条条窄区域加起来。矩形的面积是高度乘宽度；高度为 $y$ ，横向变化为 $\Delta x$ 时，这一条的贡献近似为 $y\Delta x$ 。把条带越分越窄，这些和的极限就是积分 $\int y\,dx$ 。 $y$ 为负会带来负的高度， $\Delta x$ 为负则记录向较小的 $x$ 行进。只有当 $y$ 不为负，而且我们沿一段函数图像从左向右走一遍时，这个带符号的积分才直接等于普通面积。

有了参数之后，我们可能会想把每一条写成 $y\Delta t$ ，可是这就用了错误的宽度： $t$ 增加 0.1，并不意味着 $x$ 也增加 0.1。因为 $x=f(t)$ ，它的导数就是 $\Delta x/\Delta t$ 的极限，所以很短的一段上有 $\Delta x\approx f'(t)\Delta t$ ，一条的贡献便近似为 $g(t)f'(t)\Delta t$ 。从 $t=a$ 到 $t=b$ 把这些贡献相加，再取极限。只要 $x$ 在这个有限区间上连续可微， $y$ 连续，就得到下面的参数积分形式。左边标出的 $t=a$ 和 $t=b$ 说明行进的起点与终点， $dx$ 仍然表示横向变化。

\int_{t=a}^{t=b}y\,dx=\int_a^b g(t)f'(t)\,dt=\int_a^b y(t)\frac{dx}{dt}\,dt

每一条里面都用了近似，为什么最后的极限还是准确的呢？条带越分越窄时， $\Delta x\approx x'\Delta t$ 这个近似在每一条里同时变好，所有条带的总误差会缩小到零，所以两个和有相同的极限。 $dx/dt$ 是用这个极限论证过的宽度转换，并不是直接把字母 $x$ 改成 $t$ 。

选读：用一个上界说明总误差趋近于零

$x'$ 连续意味着，当所有小段都足够短时，把 $\Delta x$ 换成采样处的 $x'$ 乘 $\Delta t$ ，误差不会超过 $\varepsilon$ 乘这段参数长度；小段越短，这个数 $\varepsilon$ 就可以越小，并趋近于零。有限区间上的高度绝对值有一个上界，记作 $M$ 。把所有条带误差的绝对值加起来，最多为 $M \times \varepsilon \times |b-a|$ ；因为 $\varepsilon$ 趋近于零，它也趋近于零。

我们用 $x=t^{2}$ 、 $y=t^{3}$ ， $0\le t\le 2$ ，来做一个能完整计算的例子。两个坐标从 (0,0) 一直增加到 (4,8)，下一节会推导准确积分。这里可以检查第一个矩形的面积，并观察增加矩形个数后的变化。如果有四个矩形， $\Delta t=2/4=0.5$ ，第一段两端的 $x$ 是 $0^{2}=0$ 和 $0.5^{2}=0.25$ 。参数中点为 $t=0.25$ ，对应 $y=0.25^{3}=1/64$ ，所以贡献为 $(1/64)\times (1/4)=1/256$ 。这里该乘的是 $x$ 的宽度 0.25，可不是参数的宽度 0.5。

这里横向与纵向的比例不同，请按坐标轴数字读数。金色点是起点。反向描画时，红色矩形记录负的 $\Delta x$ ；画出的宽度仍是正的长度。

矩形个数8

矩形和 ≈ 12.63379
准确的带符号积分 = 12.8
普通面积 = 12.8

每一段 $t$ 的长度相等，可是对应的 $x$ 宽度不一定相等。我们用参数中点处的 $y$ 作高度，用两端 $x$ 的实际差作宽度。

第一个矩形:

t

: 0 → 0.25

x

: 0 → 0.063

y = (0.125)^{3} \approx 0.00195

y\,\Delta x \approx 0.00195\times (0.0625) \approx 0.000122

把行进方向反过来，每一个 $\Delta x$ 都会变号，可是对应高度不变，所以积分变号。普通的几何区域没有改变，面积仍然是正的。如果 $x$ 在途中折返，就应当在折返的参数处分段，检查每一段的符号。只有各段确实对应我们要计算的区域、没有不该重复的部分时，才可以把适当的绝对值相加；来回走过同一段可能把它算两次。尤其要注意， $\int y\,dx$ 不是曲线长度的通用公式，也不能不检查方向和边界就直接把它当作任意封闭区域的面积。

06把两个例子的计算完整做完

例一：换了输入的直线

令 $x=2t+1$ 、 $y=3t-2$ ， $0\le t\le 2$ 。 $t=0$ 时点为 $(1,-2)$ ， $t=2$ 时点为 (5,4)。要消去 $t$ ，就从 $x=2t+1$ 两边减去 1，再除以 2，得到 $t=(x-1)/2$ 。代入 $y$ ，得到 $y=(3x-7)/2$ 。它是一条直线段。为什么是直线？因为 $x$ 每变化 $\Delta x$ ， $y$ 就变化 $(3/2)\Delta x$ ，所以每一条割线的斜率都等于 $3/2$ 。

不消去 $t$ 也能得到同样的斜率。把 $t$ 改成 $t+h$ ，得到 $\Delta x=[2(t+h)+1]-(2t+1)=2h$ 、 $\Delta y=[3(t+h)-2]-(3t-2)=3h$ 。分别除以 $h$ ，得到 $x'=2$ 、 $y'=3$ ，所以 $dy/dx=3/2$ 。再算带符号的积分： $y dx=(3t-2)\cdot 2 dt=(6t-4)dt$ 。一个原函数是 $3t^{2}-4t$ ，因为它的差商是 $6t+3h-4$ ，取极限就得到 $6t-4$ 。从 0 到 2 的原函数变化量为 $(12-8)-0=4$ 。

\begin{gathered}F(t)=3t^2-4t\\\begin{aligned}&F(t+h)-F(t)\\&=3(t^2+2th+h^2)-4t-4h\\&\quad-3t^2+4t\\&=6th+3h^2-4h\end{aligned}\\\frac{F(t+h)-F(t)}h=6t+3h-4\\\longrightarrow6t-4\end{gathered}

\int_0^2(3t-2)\cdot2\,dt=[3t^2-4t]_0^2=4

这里原函数的意思是：对它求导，会得到被积函数。为什么原函数两端的差就是积分？每一个很短的小段上，它的变化量等于被积函数乘这段宽度，再加上一个误差；像上一节那样把分段不断缩小，误差和会趋近于零。而把原函数在每一段的变化量相加，中间的端点值会前后抵消，只留下终点值减起点值。这也解释了记号 $[F(t)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$ ，而不是再引入一条没有说明的操作规则。

这里的 4 并不是全部普通面积，因为直线一开始在 $x$ 轴下方。解 $3t-2=0$ ，得到 $t=2/3$ 。此时原函数 $3t^{2}-4t=4/3-8/3=-4/3$ ，所以第一段积分为 $-4/3-0=-4/3$ ，第二段为 $4-(-4/3)=16/3$ 。两块三角形区域的普通面积之和是 $4/3+16/3=20/3$ ，可是带符号的差为 4。在高度变号处分段，就能看出这两种问题的区别。

例二：刚刚画矩形的那条曲线

回到 $x=t^{2}$ 、 $y=t^{3}$ ， $0\le t\le 2$ 。前面已经展开过平方： $\Delta x/h=2t+h$ 趋近于 $2t$ 。把三个 $t+h$ 相乘，得到 $(t+h)^{3}=t^{3}+3t^{2}h+3th^{2}+h^{3}$ ，所以 $\Delta y/h$ 趋近于 $3t^{2}$ 。当 $t>0$ 时，两个变化率相除， $dy/dx=(3t^{2})/(2t)=3t/2$ 。 $t=1$ 时点为 (1,1)，切线斜率为 $3/2$ 。

$t=0$ 时两个坐标导数都为零，比值是 $0/0$ ，不能在这里直接套用公式。我们回到实际的点：从原点走到参数 $h>0$ 的点，割线斜率为 $h^{3}/h^{2}=h$ ，趋近于零。这是所选曲线段端点处的单侧切线。我们是从曲线重新求出了它，可不是把 $0/0$ 规定成零。

\int_{t=0}^{t=2}y\,dx=\int_0^2 t^3(2t)\,dt=\int_0^2 2t^4\,dt

要算这个积分，我们需要找一个导数为 $2t^{4}$ 的函数。刚刚对平方与立方求导，都让 $t$ 的次数降低了一次，所以不如试试 $t^{5}$ ；但我们还需要检查，不能只凭模式猜测。把五个因子相乘，得到下面的展开式；减去 $t^{5}$ ，再除以非零的 $h$ 后，除了 $5t^{4}$ ，其他项都含有 $h$ ，会趋近于零。所以 $t^{5}$ 的导数是 $5t^{4}$ ，再给 $t^{5}$ 乘上 $2/5$ ，就能得到我们需要的导数 $2t^{4}$ 。

\begin{aligned}(t+h)^5&=t^5+5t^4h+10t^3h^2\\&\quad+10t^2h^3+5th^4+h^5\\\frac{(t+h)^5-t^5}{h}&=5t^4+10t^3h+10t^2h^2\\&\quad+5th^3+h^4\\&\longrightarrow5t^4\end{aligned}

展开式的系数也可以逐个检查：从五个因子中选一个 $h$ ，有 5 个位置；选两个 $h$ ，有 $5\times 4/2=10$ 对位置，这里除以 2 是因为同一对位置交换选择顺序会被重复计算；选三个 $h$ ，相当于选择剩下两个 $t$ 的位置，也有 10 种；选四个 $h$ ，则给唯一的 $t$ 留下 5 种位置。这就说明了每一个系数的来历。接下来用例一已经解释过的原函数端点差来求积分。

\begin{aligned}\left[\frac25t^5\right]_0^2&=\frac25\cdot2^5-\frac25\cdot0^5\\&=\frac25\cdot32\\&=\frac{64}{5}\\&=12.8\end{aligned}

这里 $y\ge 0$ ， $x$ 从 0 到 4 只向右走一次，所以 12.8 也就是曲线下方的普通面积。把积分限反过来，得到 $0-64/5=-12.8$ ，与反向矩形一致，但区域的正面积没有改变。积分两端仍然是参数值 0 和 2；如果把横坐标端点 0 和 4 当作 $t$ 的积分限，就会算到曲线的另一段去了。

打开答案之前，不如试一个相近的例子： $x=3t$ 、 $y=t^{2}$ ， $0\le t\le 1$ 。求 $t=1$ 时的点与切线斜率，再求这一段曲线和 $x$ 轴之间的面积。哪个因子把参数的小段长度转换成横向宽度呢？

查看完整解答

$t=1$ 时， $(x,y)=(3,1)$ 。把 $t$ 改成 $t+h$ ，得到 $\Delta x=3h$ ，所以 $x'=3$ 。展开平方得到 $\Delta y=2th+h^{2}$ ，所以 $y'=2t$ 。于是 $t=1$ 时斜率为 $2/3$ 。计算面积时，宽度转换是 $dx=3 dt$ ，积分为 $\int _{0}^{1}3t^{2}dt$ 。上面已经用立方展开说明 $t^{3}$ 的导数为 $3t^{2}$ ，所以积分是 $[t^{3}]_{0}^{1}=1^{3}-0^{3}=1$ 。因为 $t^{2}\ge 0$ ，而且 $x$ 从 0 增加到 3，这个带符号的积分就是普通面积。如果只积分 $t^{2} dt$ ，就会漏掉因子 3，用错矩形宽度。