一阶常微分方程：从斜率找回函数

函数给每个允许的输入一个对应输出。用 x 表示输入，$y(x)$ 表示输出。例如 $y(x)=x^2$，输入 2 时输出是 4。导数说的是另一件事：在当前输入附近，输出变化得多快。反过来寻找函数以前，我们先把这个意思找回来。

固定一个输入 $x$，把它改为 $x+h$，其中 $h$ 是非零的输入变化。输出就从 $x^2$ 变为 $(x+h)^2$。展开这个平方后，减去旧输出，就得到输出变化；把它除以输入变化，得到：

这个商是在该区间内，输入每变化一个单位，输出平均变化多少。让 $h$ 从正、负两边趋向零，$2x+h$ 都趋向 $2x$。这个极限给出的局部变化率叫导数，写成 $y'(x)=2x$，也写成 $dy/dx=2x$。撇号和 $d/dx$ 都表示对 $x$ 求导。我们没有把 $h=0$ 代入分式。

把问题倒过来

现在只给出 $y'=2x$。我们要找一个可求导的函数，使它在所研究区间的每个输入处，导数都等于 $2x$。这样通过导数来要求一个未知函数的方程，叫微分方程。这里最高只出现一阶导数，所以是一阶；独立输入只有 $x$ 一个，因此叫常微分方程，与含有多个独立输入的情形区别开来。

刚才的计算已经给出一个解：$y=x^2$。再加上一个常数 $C$，也就是当 $x$ 改变时保持不变的数。新输出的差是 $[(x+h)^2+C]-[x^2+C]$，两个 $C$ 抵消，导数仍然是 $2x$。因此，每个 $y=x^2+C$ 都满足方程。常数改变高度，却不改变这个变化率。

会不会还漏掉了另一类解？从任意一个解中减去 $x^2$，把差记作 $D(x)=y(x)-x^2$，它的差商等于原来两个差商之差，分别取极限就得到 $D'=2x-2x=0$。一个可求导的函数若在整个区间上导数为零，就在这个区间上保持常数。下面说明为什么这能排除其他解，而不只是检查几个画出的例子。

所以全部解组成了 $y=x^2+C$ 这一族函数。要选出其中一个，还需要知道一个函数值。例如 $y(0)=3$ 表示输入 0 时输出必须是 3。代入得到 $3=0^2+C$，因此 $C=3$，答案是 $y=x^2+3$。检查两项要求：导数是 $2x$，在 0 处的值是 3。新增的函数值条件叫初始条件，它给的是高度，不是另一个导数。

下面的图中，水平位置是输入 x，竖直高度是输出 y。连接两个图像点的直线，其斜率等于高度变化除以水平变化，也就是刚才算的差商。把每个高度都加 C，会将曲线上下平移，却不改变这个商。比较这些曲线，并打开初始条件，看看哪一条经过要求的点。

下一个方程不仅涉及导数，还会涉及未知函数本身的值。在使用新微积分规则前，我们先从能写下来的变化建立它。始终区分两件事：导数给出局部变化率，原函数则是在反过来寻找求导以前的函数。

1 · 撤销求导

如果 $A'(x) = a(x)$，就把 $A$ 叫作 $a$ 的原函数，写作 $\int a(x)\,dx = A(x) + C$。例如 $(x^{2})' = 2x$，所以 $\int 2x\,dx = x^{2} + C$。有常数 $C$，是因为给一个函数加上常数并不改变它的斜率。我们要用的关键事实是反过来的：如果两个函数在一个区间上处处有相同的导数，它们在这个区间上只相差一个常数。

下一个目标是 $y'=2xy$。与单独的 $2x$ 不同，右边还含有未知的 $y$。若在 $y$ 非零的地方除以它，会得到 $y'/y=2x$。因此我们需要认出一个由 $y$ 本身组成的表达式的导数。把一个函数的输出作为另一个函数的输入，叫复合。例如 $y(x)=3x+1$、$H(u)=u^2$，那么 $H(y(x))=(3x+1)^2$：输出 $3x+1$ 被送入平方规则，成为新的输入。

原函数记号中的积分号表示反过来寻找求导以前的函数，$dx$ 则说明这里使用的输入变量是 $x$。例如，$x^2$ 对 $x$ 的导数是 $2x$，反过来就得到 $x^2$ 加任意常数。如果输入变量改叫 $u$，相应就写 $du$。

2 · 链式法则

如果把函数 $H$ 作用在 $y(x)$ 上，那么 $x$ 改变时，$H(y(x))$ 只是因为 $y$ 改变才跟着改变。它的斜率等于 $H$ 在当前 $y$ 处的斜率，乘以 $y$ 的斜率：

在一个能展开的例子上检验：取 $H(u) = u^{2}$、$y = 3x + 1$，展开得到 $(3x + 1)^{2} = 9x^{2} + 6x + 1$，导数是 $18x + 6$；链式法则给出 $2(3x + 1) \times 3 = 18x + 6$，相同。因子 $y'(x)$，这里是 $3$，正是后面最重要的部分。

3 · 构造对数，再寻找它的逆运算

要得到 $y'/y$，链式法则提示我们寻找一个函数 $H$，使它在 $u$ 处的导数为 $1/u$。对正的 $u$，可以用累积的有向面积来构造它：从 1 开始，记下正曲线 $1/u$ 下方直到 $z$ 的面积；若 $z<1$，就取从 $z$ 到 1 的面积的相反数，让向后移动也把变化反过来。把这个函数记为 $L(z)$，起点有 $L(1)=0$。

把端点从 $z$ 移到 $z+\delta$，增加的面积是一条细条。用这份有向面积除以带符号的宽度 $\delta$，结果夹在细条内 $1/u$ 的最小高度和最大高度之间，也就是 $1/z$ 与 $1/(z+\delta)$ 之间。当 $\delta\to0$，两者都趋向 $1/z$，所以 $L'(z)=1/z$。这个面积函数叫自然对数，记作 $\ln z$。它不是为了套方程而猜出的一条规则；细条的计算说明了导数从哪里来。

接着要能撤销对数。先看为什么可以：向右移动端点会增加一块正的面积，所以随着 $z$ 增加，值严格增加。固定一个正数 $b$，由链式法则，对 $a$ 求导得到 $[\ln(ab)]\prime=1/a$，与 $\ln a$ 的导数相同。两者的差因此不随 $a$ 改变；取 $a=1$，差就是 $\ln b$，所以 $\ln(ab)=\ln a+\ln b$。

重复使用这条规则，得到 $\ln(2^n)=n\ln2$。再取 $a$ 和 $1/a$，有 $\ln a+\ln(1/a)=\ln1=0$，所以 $\ln(2^{-n})=-n\ln2$。从 1 到 2 的面积为正，所以 $\ln2>0$。让正整数 $n$ 增大，上述数值向正、负两个方向都没有上限。由于对数连续且严格增加，每个实数输出 $v$ 恰好对应一个正输入。把这个输入记为 $E(v)$，定义就是 $\ln(E(v))=v$。

对数的加法规则给出 $\ln(E(u)E(v))=u+v$，因此 $E(u+v)=E(u)E(v)$，而且 $E(0)=1$。把 $E(1)$ 这个数命名为 $e$，重复相乘就得到整数处的 $E(n)=e^n$。因此写作 $E(v)=e^v$，称为指数函数。这样就有 $e^{\ln z}=z$（$z>0$）以及 $e^{u+v}=e^ue^v$。

求它的导数时，记 $z=E(v)$，让 $v$ 改变非零的 $\Delta v$。对数的差商 $\Delta v/\Delta z$ 趋向 $1/z$，取倒数就得到 $\Delta z/\Delta v\to z$。因此 $(e^v)'=e^v$。若里面再放一个函数 $P(x)$，由链式法则得到下面的式子。

最后，后面的解可能为负。若 $z<0$，绝对值 $|z|=-z>0$，因此可以对 $-z$ 取对数。链式法则给出 $(\ln(-z))\prime=(1/(-z))(-1)=1/z$。所以对所有 $z\ne0$ 都有 $(\ln|z|)\prime=1/z$。零仍然不能包括，因为不能除以零，对数在零处也没有定义。

现在我们精确地解 $y' = 2xy$，初始条件 $y(0) = 3$。思路是把方程整理到两边都是某个已知函数的导数，再用工具 1。我们一步一步地来。

第 1 步 · 先找常数解

我们马上要除以 $y$，而不能除以零，所以先问：$y = 0$ 是不是一个解？常数函数 $y = 0$ 的斜率是 $0$，规则给出 $2x \times 0 = 0$。两边相等，所以 $y = 0$ 是一个解。现在就把它记下来，因为下一步的除法会悄悄地把它丢掉。

第 2 步 · 在 $y$ 不为零的地方除以 $y$

第 3 步 · 认出左边是一个导数

取函数 $H(u)=\ln|u|$，它在 $u\ne0$ 时的导数是 $H'(u)=1/u$。把 $y(x)$ 放进去，链式法则告诉我们，$\ln|y(x)|$ 的导数是 $(1/y(x))y'(x)$，正好是左边。右边 $2x$ 是 $x^2$ 的导数。因此方程说的是：两个函数的导数相同：

第 4 步 · 撤销求导

根据工具 1，导数相同的两个函数只相差一个常数，记作 $C_1$：

第 5 步 · 撤销对数

两边都取指数，并用 $e^{u + v} = e^{u}e^{v}$：

第 6 步 · 去掉绝对值，再把 $y = 0$ 放回来

$y$ 要么是 $+e^{C_1}e^{x^{2}}$，要么是 $-e^{C_1}e^{x^{2}}$。它不能从一个跳到另一个，因为连续函数要跳过去就必须经过 $0$，而我们是在 $y$ 不为零的地方讨论的。所以 $y = Ce^{x^{2}}$，其中 $C$ 代表 $\pm e^{C_1}$，可以是除 $0$ 以外的任何数。再允许 $C = 0$，就把第 1 步的解找了回来。把这些解合写成

这里 $C$ 可以是任意实数，包括零。

第 7 步 · 用初始条件

代入 $x = 0$：$y(0) = Ce^{0} = C$，而我们要求 $y(0) = 3$，所以 $C = 3$，$y = 3e^{x^{2}}$。

第 8 步 · 检验

用工具 3 求导：$y' = 3e^{x^{2}} \times 2x = 2x \times (3e^{x^{2}}) = 2xy$，规则成立；$y(0) = 3e^{0} = 3$，起始值也成立。两个检验都需要：一个检验斜率规则，另一个检验起点。

你会经常看到第 2 步到第 4 步写成一种简写：「$\dfrac{dy}{y} = 2x\,dx$，两边积分，$\ln|y| = x^{2} + C_1$」。这只是我们刚才所做事情的压缩记录，不是新的规则。左边和右边一样，都是对 $x$ 积分的；能把它写成关于 $y$ 的式子，靠的是链式法则。每当这种简写看起来神秘，就回到第 3 步。

形如 $y'=a(x)g(y)$ 的方程叫可分离变量方程，因为右边能拆成 $x$ 的函数与 $y$ 的函数相乘。在 $g(y(x))$ 始终非零、被积函数连续的区间上，相除得到 $y'/g(y)=a(x)$。选原函数 $G'=1/g$、$A'=a$，链式法则给出 $G(y(x))=A(x)+C$。这已经是描述解的关系；能单独解出 $y$ 时再解出来，然后使用初始条件并检验。使 $g(y)=0$ 的常数值，要另代入原方程检查。

现在看 $y' + 2y = 4$。作为斜率规则，$y' = 4 - 2y$：高度低于 $2$ 时斜率为正，高于 $2$ 时为负，在 $y = 2$ 处图像保持水平。我们本可以再次分离变量，但这里用它来学第二种方法，这种方法在不能分离变量时也管用：形如 $y' + p(x)\,y = q(x)$ 的方程，叫作一阶线性方程，因为 $y$ 和 $y'$ 都只出现一次方。

我们想把左边变成一个能够撤销的导数，乘积也许能帮忙。先算清乘积的导数。记 $\Delta h=h(x+\delta)-h(x)$、$\Delta y=y(x+\delta)-y(x)$。展开新乘积再减去旧乘积，得到 $(h+\Delta h)(y+\Delta y)-hy=h\Delta y+y\Delta h+\Delta h\Delta y$。除以非零的 $\delta$，再让 $\delta$ 趋向零。前两项分别趋向 $hy'$、$h'y$；最后一项是 $\Delta h(\Delta y/\delta)$，因为 $\Delta h\to0$ 而 $\Delta y/\delta\to y'$，所以趋向零。因此 $(hy)'=hy'+h'y$。我们的方程 $y'+2y=4$ 也含有导数项和函数值项。能否找一个乘数，让左边恰好成为这个乘积的导数？

把整个方程乘以 $h$：$hy' + 2hy = 4h$。要让左边成为 $(hy)' = hy' + h'y$，需要 $h' = 2h$。函数 $h = e^{2x}$ 正好满足，因为由工具 3，$(e^{2x})' = e^{2x} \times 2$。它永远不为零，所以乘以它不会丢失任何解。现在按步骤做：

第三步是撤销求导：$2e^{2x}$ 的导数是 $4e^{2x}$，所以两边相差一个常数 $C$。最后一步除以 $e^{2x}$。由 $y(0) = 1$：$1 = 2 + C$，所以 $C = -1$，$y = 2 - e^{-2x}$。检验：$y' = 2e^{-2x}$，$y' + 2y = 2e^{-2x} + 4 - 2e^{-2x} = 4$。$C = 0$ 时是水平解 $y = 2$。在模型里，左图显示 $y$，右图显示乘积 $Y = e^{2x}y$：无论起始高度是多少，在同一个 $x$ 处每条 $Y$ 曲线的斜率都是 $4e^{2x}$，所以它们只相差常数，正如第三步所说。

现在看方程 $y'+p(x)y=q(x)$，其中 $p(x)$、$q(x)$ 是所研究区间内已知的连续函数。为了与乘积法则匹配，需要 $h'=ph$。选一个原函数 $P'=p$，再令 $h=e^{P(x)}$，由链式法则有 $h'=e^P P'=ph$，正好符合要求，而且 $h$ 始终为正。这个乘数叫积分因子。整式相乘得到 $(e^Py)'=e^Pq$，撤销求导，再除以非零的 $e^P$，得到：

现在回到前面的方程 $y\prime=2xy$，检查是否遗漏了某一段为零、另一段不为零的解。对乘积 $e^{-x^2}y$ 求导，得到 $e^{-x^2}(y\prime-2xy)=0$，最后一步用了原方程。所以该乘积在整个区间内都是同一个常数，包括可能的零点，因而这里的全部解确实都是 $y=Ce^{x^2}$。刚才推导的乘积法则，使这次检查在 y 为零的地方仍然成立。

解 $y' + \dfrac{y}{x} = x$，$y(1) = 1$。因为 $1/x$ 在 $0$ 处没有定义，而起点的 $x = 1$，所以只在 $x > 0$ 上讨论。这里 $p = 1/x$，所以 $P = \ln x$，积分因子是 $e^{\ln x} = x$。乘以 $x$ 得到 $xy' + y = x^{2}$，由乘积法则，左边就是 $(xy)'$。撤销求导（用 $(x^{3}/3)' = x^{2}$），再除以 $x$：

在 $x = 1$ 处：$1 = \tfrac{1}{3} + C$，所以 $C = \tfrac{2}{3}$，$y = \dfrac{x^{2}}{3} + \dfrac{2}{3x}$。检验：$y' = \dfrac{2x}{3} - \dfrac{2}{3x^{2}}$，$\dfrac{y}{x} = \dfrac{x}{3} + \dfrac{2}{3x^{2}}$；相加时含 $x^{2}$ 的分数抵消，剩下 $\dfrac{2x}{3} + \dfrac{x}{3} = x$。在 $x = 2$ 处，解的值是 $\tfrac{4}{3} + \tfrac{1}{3} = \tfrac{5}{3}$。

试一试

第一题：解 $y' = xy$，$y(0) = -2$。第二题：解 $y' + y = 3$，$y(0) = 5$。每一题都检验方程和起始值，再打开答案。

在精确解法中，我们把方程整理成一个认得出的表达式的导数，再撤销求导。链式法则说明分离变量为何有效，乘积法则说明积分因子为何有效。接下来回到已经求出的解，逐点观察它的局部斜率，再看看怎样直接按照这些斜率构造近似路径。

我们已经求解并检验了 $y'=2xy$。现在回到同一个方程，换一个问题：它怎样规定解在某一点的方向？读懂这个局部信息，不需要再发明一个求解方法。

把它读成一条关于斜率的规则：在我们要找的图像上的任意一点 $(x, y)$，斜率必须等于 $2$ 乘 $x$ 再乘 $y$。不知道图像，也可以在某一点使用这条规则：在 $(0.5, 1)$ 处，斜率必须是 $2 \times 0.5 \times 1 = 1$；在 $(1, 2)$ 处，必须是 $2 \times 1 \times 2 = 4$；在直线 $x = 0$ 上的任何地方，斜率都必须是 $0$。像这样把未知函数和它的导数联系起来的方程，叫作微分方程。我们的方程里只有一阶导数，所以是一阶微分方程。

在模型里移动点 $P$，看它的短斜线。再打开其他点的斜率：整幅由小短线组成的图叫作斜率场。一个解，就是一条在经过的每一点都和那里的小短线相切的曲线。

我们已经求出 $y=Ce^{x^2}$。若选定点 $(x_0,y_0)$，代入得到 $y_0=Ce^{x_0^2}$。指数函数为正，可以相除，得到 $C=y_0e^{-x_0^2}$。因此经过这个点的解是 $y(x)=y_0e^{x^2-x_0^2}$。这就说明模型为何能在选定一点后画出整条曲线：它使用了已推导的解，不是从十三个点猜出曲线。

注意，适合这个斜率场的曲线有很多条，每个起点一条。要从中挑出一条，还要给一个起始值，比如 $y(0.5) = 1$：曲线必须经过点 $(0.5, 1)$。这样的起始值叫作初始条件。它给的是某个 $x$ 处的高度，而不是另一个斜率。

我们已经知道 $y'=2xy$ 经过 $(0,1)$ 的精确解是 $y=e^{x^2}$。图中保留它作比较，我们来试一种只使用斜率规则的构造。在 $(0,1)$，斜率是 $2\times0\times1=0$；沿这点的切线横向走 $h=0.2$，高度仍是 1。在新的近似点 $(0.2,1)$，规则给出的斜率是 $2\times0.2\times1=0.4$；继续走 0.2，高度增加 $0.4\times0.2=0.08$，得到 1.08。每一步中，我们都用区间起点的斜率代替了区间内不断变化的斜率：

在模型里一次走一步，把近似点和同一个输入处的精确高度比较。这叫欧拉法，是一种基础的数值方法。对这里的例子和这些正步长，减小步长会使近似更接近精确解；这不是对任意方程、任意步长的保证。还有其他精度更高的数值方法。这里先把欧拉法每一步究竟作了什么近似看清楚。