先看下面左边的图。左上、右上、右下、左下是桌上固定的位置，中心点也固定。$A$ 是金黄色，$B$ 是绿色，$C$ 是蓝色，$D$ 是粉色，字母和彩色标记都跟着卡片走。颜色只是帮助辨认，每个角始终带着自己的字母。

把卡片顺时针转四分之一圈，$A$ 从左上来到右上，$B$ 来到右下，$C$ 来到左下，$D$ 来到左上。外轮廓仍是同一个正方形，可是四个字母的位置已经不同。如果只记录“还是正方形”，我们就把想知道的信息丢掉了。

这里要分清两件事。图上字母目前在哪里，叫作状态；“顺时针转四分之一圈”是一条改变状态的动作指令。同一个动作可以从不同状态开始执行。下面用 $R$ 表示这条指令，不是只表示右上有 $A$ 的那张图片。

群论在这里的用途，是把一长串动作变成可以计算的东西。比如连续做两次 $R$，到底等同于哪一个动作？如果每次都从头摆卡片，一长串指令会很难核对。有了少量动作之间的组合规则，就能反复使用同一套规则处理更长的指令。

一整圈规定为 360°，所以四分之一圈就是 $360^\circ \div 4 = 90^\circ$。连续转两次是 $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$，三次是 $180^\circ + 90^\circ = 270^\circ$，四次是 $270^\circ + 90^\circ = 360^\circ$。最后四个角都回到各自原来的位置。

点击“下一个动作”，每次执行一次 $R$。你可以跟着 $A$ 的位置移动，也可以核对其他三个角。左图一直保留起始状态；右图停在当前一步的结果。“逐步播放”会依次做四次，不会自动跳到下一节。可以随时暂停、重置，或点选某一步查看。

我们用 $R^{2}$ 表示连续做两次 $R$，用 $R^{3}$ 表示三次。这里的上标记录重复次数，不是把某个角度拿去平方。什么也不做，记作 $e$；转一整圈的过程虽然和不动不同，但它把每一个点送到的最终位置完全相同，所以作为“最终位置的规则”，$R^{4}$ 和 $e$ 是同一个对象。

为什么只留下这四种？我们要求结束时完全盖住原轮廓。$A$ 只能落到四个角中的一个；只允许转动时，$A$ 的终点一旦选好，$B$、$C$、$D$ 的终点也就跟着确定。$e$、$R$、$R^{2}$、$R^{3}$ 已经把 $A$ 的四个可能终点全部用到了。转 45° 则会让边和角离开轮廓，所以不在这份动作集合里。

现在约定一个组合记号：$a \star b$ 表示做完 $a$ 后执行 $b$。为了不让符号顺序造成误会，本页始终从左向右执行。它不是普通的数的乘法；我们是在给两个动作的组合起一个记号。

第一个式子把 1 次和 2 次转动接起来，所以一共转 3 次。第二个式子一共转 $3 + 2 = 5$ 次；前 4 次回到原位，第 5 次再转 90°，所以和 $R$ 相同。这是用动作推出来的结果，不是要求我们先记住一张表。下面保留起点、中间点和终点，试着把两个下拉框设成 $R^{3}$ 和 $R^{2}$，逐个角核对这个结果。

只转动时，沿轮廓读 $A$、$B$、$C$、$D$ 的先后方向不会反过来。可是把卡片沿竖直中线翻面后，左右会互换：左上和右上互换，左下和右下互换。原先顺时针读到的 $A$、$B$、$C$、$D$，现在要逆时针才读到。任何转动都做不出这个左右互换的效果，所以要加入一个新动作。

把每个点放到直线另一边、离直线同样远的位置，这种动作叫反射。这里选竖直中线作那条线，记动作 $F$。假定字母在卡片两面都能读到；图只记录角的位置，不要求我们在脑中想象翻面过程。虚线留在桌上的固定位置，第二幅图把交换后的终点直接画出来。

$F$ 做两次，会把每一对角交换回来，所以 $F \star F = e$。我们也可以在转动后做 $F$。转动角度分别为 0、90°、180°、270° 时，随后的反射会给出四种不同的结果。下面可以选择转动角度；中图保留转完的状态。把中图沿固定的竖直中线左右互换，就得到右图。

这四种结果也分别是沿四条不同直线的反射。先看四个字母的终点：$F$ 交换左右；$R \star F$ 固定 $A$、$C$ 而交换 $B$、$D$，所以是沿左上到右下的对角线反射；$R^{2} \star F$ 交换上下；$R^{3} \star F$ 固定 $B$、$D$ 而交换 $A$、$C$，所以是沿另一条对角线反射。下面虚线显示各自等效的反射线，图显示完成后的结果。

为什么总共恰好是 8 种，而不是还有漏掉的动作？$A$ 的终点有 4 个选择。$B$ 原本与 $A$ 相邻，刚性动作保持边长，所以 $B$ 必须落在 $A$ 终点旁边的两个角之一，不能落到对角。$A$、$B$ 的终点选好以后，$C$ 是 $B$ 旁边尚未用到的角，$D$ 是最后一个角，没有其他选择。因此最多只有 $4 \times 2 = 8$ 种。上面的 4 个转动和 4 个反射彼此不同，已经达到 8 种，所以没有遗漏。

我们只根据最终点的位置来区分这些动作，把完全保持原轮廓的这种动作叫作正方形的对称。四个转动组成的群通常记作 $C_{4}$；加入反射后的这八个对称，在本页记作 $D_{4}$。下标 4 指正方形的四条边，不是说 $D_{4}$ 只有四个动作。我们马上逐条检查为什么这里能使用“群”这个名字。

只看转动时，90° 与 180° 两次转动无论按哪种顺序进行，总角度都是 270°。这容易让我们猜测所有动作都能交换顺序。可是加入反射后，这个猜测就要重新检查。下面把 $R$ 选为第一个动作，把 $F$ 选为第二个动作。三幅图保留原状和每一步，下方两幅图把相反顺序的最终结果并排放好。

我们跟着 $A$ 走一遍：$R$ 把它从左上送到右上，接下来的 $F$ 把它送回左上。反过来做，$F$ 把 $A$ 送到右上，接下来的 $R$ 却把它送到右下。一个结果在左上，另一个在右下，只用 $A$ 就已经证明两种组合不同。这叫不满足交换律：不能对所有 $a$、$b$ 都断言 $a \star b = b \star a$。不是说每一对都不同，比如 $e$ 和任何动作仍然能交换。

现在才把全部组合整理成一张表。拿第 $R$ 行、第 $F$ 列来说，$A$ 的路线刚才已经检查过；$B$ 从右上到右下，再到左下；$C$ 从右下到左下，再到右下；$D$ 从左下到左上，再到右上。因此从左上顺时针读最终字母是 $A$、$D$、$C$、$B$，正好与 $R \star F$ 的图一致。每一格都是这样，把第一个动作的终点交给第二个动作，而不是把两个字母名字相加。

因此，只记录“转了几次、反射了几次”还不够。$R$ 后 $F$ 和 $F$ 后 $R$ 都各有一次转动、一次反射，计数相同，结果却不同。我们需要把顺序以及动作之间怎样组合也记下来；组合表正好保留了单独计数会丢掉的信息。

表格可以帮我们算出结果，可是我们还想知道为什么能一直这样算。接下来不是突然加四条需要死记的规定，而是检查刚才缩短和撤销动作所依靠的事情。

1. 两个动作合起来，还在这份集合里

每个动作都保持点之间的距离，并把正方形放回原轮廓。完成第一个动作时，这两个条件成立；第二个动作也保持距离和轮廓，所以组合仍是一个正方形对称。上一节已经证明所有这样的对称只有那 8 个，因此组合必定是表中某一个。我们把“集合里任意两个对象运算以后，结果仍在集合里”叫作封闭性。

2. 可以改变括号，不能借此交换顺序

假设执行顺序是 $a$、$b$、$c$。查表时，我们可以把 $a$、$b$ 合成一个动作，并把 $c$ 接在后面；也可以把 $b$、$c$ 合成一个动作，放在 $a$ 后面。这两种分组是否总会得到相同结果，不能靠几次实验来断定。我们用任意一个点 $P$ 检查。

用 $a(P)$ 表示点 $P$ 执行 $a$ 后的位置，$b(a(P))$ 就是把这个新位置再交给 $b$。沿三个动作走，$P$ 的路线总是 $P$ → $a(P)$ → $b(a(P))$ → $c(b(a(P)))$。不论括号先圈住前两个动作，还是后两个动作，每个点的最终位置都是 $c(b(a(P)))$；这一步没有交换 $a$、$b$、$c$ 的执行顺序。

这就是结合律。括号只是在决定先计算哪一部分，不是在调整动作顺序。它使我们能放心把长串里的相邻几步先合并；上一节看到的 $R$ 和 $F$ 不能交换，与这里完全不矛盾。

3. 需要一个“不改变任何东西”的动作

把“不动”放在 $a$ 前面或后面，效果都与只做 $a$ 相同。所以 $e \star a = a$，并且 $a \star e = a$，对每个 $a$ 都成立。$e$ 叫作单位元。它不是数字 1，只是在当前运算里起“不改变结果”的作用。原状是一张状态图，而 $e$ 是把任何起始状态都保持不变的动作，要保留这个区别。

4. 每一个动作都要能够撤销

$R$ 和 $R^{3}$ 连续执行，一共转 4 次，回到原位；交换这两个动作的顺序，结果也一样。因此 $R$ 的逆元是 $R^{3}$。连续做两次 $R^{2}$，转过 $180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$，所以它的逆元是自己。$e$ 的逆元仍是 $e$。沿同一条线反射两次，会把每个点从直线另一侧送回原位置，因此四种反射各自的逆元也是自己。

用 $a^{-1}$ 表示能撤销 $a$ 的那个动作，这不是把动作拿去做数字的除法。它满足 $a \star a^{-1} = e$，也满足 $a^{-1} \star a = e$。对刚才选择的反射，下面把计算直接写出来；也可以回到表格核对。

现在给这套结构一个名字

集合就是一份对象的清单，可以有限，也可以无限。运算是从清单里选两个对象后，按确定规则得到一个结果。把一个集合 $G$ 与一个运算 $\star$ 放在一起，如果满足下面四条条件，就把 $(G, \star )$ 叫作群。这是“群”这个名字的定义，不是声称世界上所有运算都会满足这些条件。

群不是那块正方形本身，而是“这 8 个动作，加上先后组合的运算”。只取四个转动也组成群：两次转动合起来仍是四种转动之一，结合律沿用刚才对任意点的证明，$e$ 在集合里，而且 $e$、$R$、$R^{2}$、$R^{3}$ 的逆元分别是 $e$、$R^{3}$、$R^{2}$、$R$，也都在里面。交换律没有列在群的定义中，因此群可以像四种转动这样能交换，也可以像全部八种动作这样不能总是交换。

现在给卡片一串具体指令：$R$、$F$、$R$、$F$、$R$、$R$，也就是转、反射、转、反射、转、转。我们想保留每个角的最终位置，把指令缩短，并找出恢复原状的办法。用下方按钮逐步执行，就能把每一步的位置与后面的计算对照。

前两步合起来是 $R \star F$，第三、四步也一样。我们已经看到 $R \star F$ 等同于沿一条对角线反射，同一个反射做两次就恢复原状。因此前四步合起来是 $e$。剩下两个 $R$ 合起来是 $R^{2}$，整段六步就等同于顺时针转 180°。

这里每一步都有依据：结合律允许我们把相邻动作括起来；反射的逆元是自己，所以前两组抵消；单位元不会改变剩下的 $R^{2}$。我们没有为了抵消而擅自交换 $R$ 和 $F$。要恢复原状，再做 $R^{2}$ 就行，因为 $R^{2} \star R^{2} = e$。最后从左上顺时针读到 $C$、$D$、$A$、$B$，恢复后则重新读到 $A$、$B$、$C$、$D$。

如果暂时没看出怎么缩短，仍然有一个通用的撤销办法：倒着执行每一步的逆动作。原指令最后一步 $R$ 用 $R^{3}$ 撤销，倒数第二步 $R$ 也用 $R^{3}$ 撤销；接下来依次是 $F$、$R^{3}$、$F$、$R^{3}$。为什么要倒着？撤销最后一步，我们就回到它还没有发生时的状态。对更早的步骤重复这样做，就能逐个退回起点。

这就是本页已经完成的用途：把不方便直接检查的六步指令缩成一步，证明两张不同的指令表效果相同，并找出恢复方法。群的规则把这些理由整理在一起，保证在其他同样满足四条条件的对象里，也能按相同逻辑组合和撤销。它不会自动替我们解决所有问题，但让这些操作有了可以检查的依据。

刚才定义群时，没有要求对象一定是转动，也没有要求集合只有有限个对象。不如检查一套熟悉的对象：整数 …、$-2$、$-1$、0、1、2、…，通常记作 $\mathbb Z$，运算选普通加法。我们可以把 $+3$ 看成沿数轴向右走 3 格，$-2$ 看成向左走 2 格。走完这两段，总位移是向右 1 格，即 $3 + (-2) = 1$。

封闭性来自整数步数相加：走完两段整数步，仍落在整数位置。结合律来自同一串向左或向右的单位步：把前两段先计总数，或把后两段先计总数，都没有增减或改动任何一步，所以总位移相同，即 $(a + b) + c = a + (b + c)$。这里用的是整数加法本来的规则，不是对任意新运算作出猜测。

加上 0 就是不走，所以 $0 + a = a + 0 = a$，单位元是 0。走 $a$ 对应的步数后，再走方向相反的 $-a$，每一步都能配对抵消，所以 $a + (-a) = (-a) + a = 0$；每个整数 $a$ 的逆元是 $-a$，也在 $\mathbb Z$ 里面。因此 $(\mathbb Z, +)$ 是群。这个群有无限多个对象，和方块的八个动作不同，可是刚才检查的四条条件相同。

作为对应，方块里的 $e$ 在这里变成 0，“再做一个动作”变成加上一个整数，撤销动作变成加上相反数。名字相同，是因为组合关系有相同的几条性质，不是说整数真的就是一块方块。

并非换个集合、换个运算都可以

如果只保留 0、1、2、3、…，还是做加法，单位元 0 还在，结合律和封闭性也还在。但想撤销 $+3$，就需要一个 $b$ 满足 $3 + b = 0$；两边减 3，得到 $b = -3$，而 $-3$ 已被排除。缺一个逆元就不满足群的定义，所以非负整数的加法不是群。

再把集合改回所有整数，却把运算换成减法。此时 $(5 - 3) - 1 = 2 - 1 = 1$，可是 $5 - (3 - 1) = 5 - 2 = 3$。两种分组结果不同，结合律失败，所以整数配减法也不是群。判断是不是群，必须同时说清集合和运算，单独说“整数是群”会漏掉重要信息。

可以回到上面的图和表找线索。写下自己的想法后，用展开的答案核对。答案不仅给出动作名字，还会说明这样做的理由。

回头看，最初我们只想把方块摆对、把长指令缩短并恢复原状。沿着这几个具体问题，我们得到了组合、封闭性、结合律、单位元和逆元，最后才把同时满足这些条件的集合与运算叫作群。这里结束的是一个完整的小问题；群论的进一步内容可以以后再学，不影响我们已经理解的这些理由。