电磁感应：从电路到发电机

01 先从导线与电池开始

先看下面实验台上的电池、开关和电阻。导线把它们连成一条可以接通、也可以断开的路径。导线里本来就有带电粒子：金属含有电子，其中一些可以在金属中移动。电池不是重新制造一批电子，也不是等一个电子从电池走到电阻以后，电阻才开始工作。路径接通后，电路中建立起一种推动电荷的电作用，我们称它为电场；可移动电荷会回应它。

电荷是粒子参与电相互作用的一种性质，有正、负两种。电子带负电。电荷量用库仑计量，单位缩写为 C，我们用符号 $Q$ 表示电荷量。一库仑对应极大量电子所带电荷的大小；图中的标记表示一份份电荷，不是按真实比例画出的单个电子。

选取导线的一个横截面，就像在导线上画一道计数线。如果时间间隔 $\Delta t$ 内通过了电荷量 $Q$，平均电流就是单位时间内通过的量。这是平均电流的定义，不是一条新的实验定律。符号 $\Delta$ 表示“变化量”或“间隔”。一安培，单位 A，表示每秒通过一库仑。

我们约定：电流方向取正电荷会移动的方向。金属中的可移动电子漂移方向与电流相反，因为它们带负电。下面所有电流箭头都遵守约定电流方向。

电流告诉我们经过多少电荷，可是我们还需要知道每单位电荷能转移多少能量。如果电池给每 $1\,\text{C}$ 电荷提供 $2\,\text{J}$ 能量，就对应 $2\,\text{V}$。电压用伏特 V 计量，焦耳 J 是能量单位。把转移的能量记为 $W$，电荷量记为 $Q$。“每份电荷转移多少能量”和“每秒经过多少电荷”，回答的是不同问题。

电阻把电能转化为热能。对这里选用的简单电阻，实验发现：温度固定时，电流与两端电压成正比。电阻值 $R$ 是比值 $V/I$，单位为欧姆 $\Omega$。把 $R=V/I$ 两边乘以 $I$ 得到 $RI=V$，再除以 $R$ 得到 $I=V/R$。这种行为称为欧姆定律，并不是每一种电器件都服从它。

现在我们已经分开三件事：原本就存在的电荷、每份电荷得到的能量，以及完整通路中经过的电流。先保留这个区别。接下来我们想知道，电池是不是提供这种电驱动作用的唯一办法。为了试一试，我们先学会描述磁铁周围的情况。

02 我们怎样描述磁场

一块磁铁不碰到另一块磁铁，也能对它产生作用。为了描述不同位置受到的影响，我们给每个位置指定一个磁场。场记录的是当地的物理条件：在这里指向哪里，强弱怎样。箭头是我们表示这种条件的方法，不是空间里真的填满了小棒。

小指南针可以帮助确定方向：它指北的一端沿当地磁场指向。条形磁铁外部的磁场从北极指向南极，磁感线在磁铁内部继续延伸，形成闭合的磁感线。我们用 $B$ 表示磁感应强度的大小，单位为特斯拉 T。说一块区域的磁场“均匀”，就是这块区域各处的方向和大小都相同。

磁感线是绘图工具。在同一幅图上多画一倍线，并不会让真实磁场增大一倍。磁场大小由明确的数值说明，线的疏密或深浅只是视觉提示。接下来我们要量化磁场怎样穿过一个选定的面；如果只数几条画出来的线，就容易得到错误理解。

电流也产生磁场。沿圆环流动的电流会在环内产生磁场，把导线绕成多个环，就得到线圈，每一圈叫作一匝。因此，线圈既能处在外加磁场里，也能用自己的电流产生自己的磁场。后面判断感应方向时，我们会分清这两个磁场。

03 一个面、一个方向与磁通量

下面的铜线环中间是空的。打开“线框开口面”，你会看到半透明的面正好铺在线环围住的开口内。它是我们添加的辅助图形，不是器材里的一张薄膜；关闭它，导线仍保持原样。为什么要加这个面？因为我们想比较磁场怎样穿过整个开口，需要先指出比较的是哪一块面积。

先让均匀磁场垂直穿过这个面。在这种正对的情况下，我们把磁通量 $\Phi$ 定义为磁场强度乘以面积 $A$。面积加倍，就有两倍的面处在同样的磁场中；磁场加倍，同一面积的磁通量也加倍。磁通量的单位是韦伯 Wb。

现在转动铜线框。半透明开口面跟着它一起转，蓝色磁场箭头保持原来的方向。绿色箭头始终垂直于这个面，我们把它叫作法线。有了它，即使面转得几乎只剩一条边，也能明确比较面的朝向与磁场方向。法线有两个相反方向，我们选定其中一个并一直追踪。选定的法线与磁场之间的夹角，记作 $\theta$，读作 theta。

我们可以把这个面投影到一个与磁场垂直的平面上，得到真正正对磁场的有效面积。让长方形绕一条边转动，这条边长度 $a$ 不变，另一条长度为 $b$ 的边投影后成为 $b\cos\theta$。这里余弦表示带方向的投影比例；在直角三角形中，它就是邻边除以斜边。原面积是 $ab$，带方向的投影面积是 $a(b\cos\theta)=A\cos\theta$（记为 $A_{\perp}$），再乘均匀磁场，就得到磁通量。

法线顺着磁场时，$\theta=0^\circ$，$\cos\theta=1$，磁通量就是 $BA$。磁场沿着面时，$\theta=90^\circ$，投影后的穿过面积为零。法线逆着磁场时，$\theta=180^\circ$，磁通量为 $-BA$。磁场并没有消失，负号只是保留相对于选定方向的关系。

如果磁场在面上各处不同，一个乘积就不够了。我们把面分成小片，每片使用当地磁场、面积和法线，再把带符号的贡献相加。积分符号是把小片分得越来越细时，这些和的极限的简写。下面的数值实验使用平面线圈与均匀磁场，此时前面的乘积就精确成立。

下标 $i$ 给小片编号，$\Delta A_i$ 是该片面积。在积分里，$S$ 指所选的面，$dA$ 表示微小面积贡献，$\hat{\mathbf n}$ 是单位法线，也就是长度规定为一、只负责指方向的箭头。两向量之间的点表示取磁场沿法线的分量。这里没有新增物理定律，只是把磁通量的定义推广了。

04 从磁通量变化到电动势

现在我们能描述穿过线圈的磁情况了，可是开头的问题还没有解决：这个装置能不能在没有电池时推动电荷？接下来比较磁场保持不变和磁场正在变化时的仪表。计算仪表的响应之前，先回想电池提供了什么：它给每份电荷提供能量，而不是创造新的电荷。

假设某个来源能给沿回路走一圈的每库仑电荷提供 0.08 焦耳能量。用能量除以电荷量，得到每库仑 0.08 焦耳，也就是 0.08 伏特。我们把这种按每单位电荷计量的驱动量叫作电动势，记为 $\varepsilon$，英文缩写为 emf。英文历史名称里虽然有“力”，它却不是机械力。电池依靠化学过程提供能量；电磁感应则让变化的磁场产生电驱动作用。要形成持续电流，仍然需要导电通路。

对静止回路，感应电动势是感应电场把单位正电荷沿回路带一周所能做的功。它描述整个环路。在变化磁场里，通常不能把它替换成任意两点之间、与路径无关的单一电压。因此，开路可以有感应电动势，却没有持续电流。

法拉第的实验建立了我们需要的联系：穿过回路的磁通量变化，会在回路中产生电动势。这是一条实验建立的物理定律。下面可以计算它的后果，但不能仅凭磁通量定义或一幅磁场箭头图证明这条定律。

把开始的磁通量记为 $\Phi_1$，结束的记为 $\Phi_2$。变化量是末值减初值，即 $\Delta\Phi=\Phi_2-\Phi_1$；再除以经过的时间，得到平均变化率。如果有 $N$ 匝相同且串联的线圈，每匝贡献相同电动势，因此贡献相加。法拉第定律给出下面的平均电动势。负号的方向含义，我们会在后面的方向实验中说明。

假设每匝磁通量在 $2\,\text{s}$ 内从 $0.004\,\text{Wb}$ 增加到 $0.012\,\text{Wb}$。末值减去初值，得到变化量 $0.012-0.004=0.008\,\text{Wb}$。用它除以 $2\,\text{s}$，得到每秒平均增加 $0.004\,\text{Wb}$。二十匝串联把电动势乘以二十，因此大小为 $0.08\,\text{V}$。这是平均值；如果变化均匀，它也就是变化期间的电动势。

如果磁通量变化不均匀，整个时间段的平均值会隐藏哪一刻变得最快。我们在关注的时刻附近取更短时间段，再算同一个比值。当时间段缩小时，比值趋向一个确定值，这个值就是瞬时变化率，写成 $d\Phi/dt$。我们不是把零放到分母，而是考察非零时间间隔的比值趋向什么。

例如，我们指定一种变化，让 $\Phi(t)=kt^2$，其中 $k=0.001\,\text{Wb/s}^2$，时间用秒计量。我们可以不跳过代数，直接求它的变化率。展开平方得到 $t^2+2t\Delta t+(\Delta t)^2$；减去原来的 $t^2$，这一项消去；除以非零时间间隔后剩下 $2kt+k\Delta t$。最后一项趋于零，所以变化率为 $2kt$。这个式子描述我们选定的输入，不是在声称所有磁铁都服从平方变化。

在 $t=2\,\text{s}$，瞬时变化率为 $2\times0.001\times2=0.004\,\text{Wb/s}$；二十匝的瞬时电动势是 $-0.08\,\text{V}$。可是在第二秒到第三秒之间，平均变化率为 $(0.009-0.004)/1=0.005\,\text{Wb/s}$，平均电动势为 $-0.10\,\text{V}$。答案不同，是因为磁通量随着时间增长，变化得越来越快。

05 为什么只有附近的磁铁还不够

回到线圈旁边的一块普通磁铁。磁铁靠近时，线圈处的磁场增强，磁通量发生变化。如果把磁铁停住，磁场仍然存在，但不再变化。关键区别是“有磁通量”与“磁通量在变”。很大的恒定磁通量可以对应零电动势，较小却快速变化的磁通量则可以对应明显的电动势。

只有“在运动”也不够。如果刚性闭合线圈整个在均匀、恒定的磁场内部平移，不转动、不改面积，它的磁通量不变，环路净感应电动势就为零。各段导线中的电荷可能受到磁力，但绕整圈的贡献抵消。移入或移出磁场区域会改变处在磁场中的面积，那就是另一种情况。

同样，我们可以让全部导线不动，只让旁边另一个线圈的电流变化，从而改变磁场。法拉第定律让我们追踪磁通量，不是非得找出一个运动物体。在均匀磁场情形，$BA\cos\theta$ 中的三个因素给出三条路：改变磁场、有效面积或朝向。

06 用楞次定律判断方向

算出大小，还不知道电流会沿哪个方向流。电流会产生自己的磁场，所以方向很重要。楞次定律说：感应电动势的方向，使它驱动的电流所产生的磁场反抗磁通量的变化。这里必须保留“变化”二字：原磁通量正在减小时，感应场会帮助维持原来的方向。

现在可以读懂法拉第定律里的负号了。把朝向自己的法线选为正，按右手规则把逆时针绕行配为正。朝外磁通量增加时，$\Delta\Phi$ 为正，负号使电动势为负，因而沿顺时针。朝外磁通量减小时，$\Delta\Phi$ 为负，电动势变正，因而沿逆时针。更换符号约定会同时更换标签，不会改变物理预测。

为什么这种反抗合理？假如把磁铁推入闭合电阻线圈时，感应电流反而帮助磁铁继续进入，运动会产生更多电流，电流又让磁铁加速，电阻同时还在发热。从同样的磁状态出发，这种假想的自我增强过程会在没有相应来源时提供机械能与热能。实际观测到的反抗作用，则让推磁铁的人必须做功。能量守恒核对方向是否自洽，实验建立的感应定律给出定量关系。

反抗变化，并不等于把变化完全抵消。电阻、几何结构和自感决定电流最后多大；有电阻的线圈通常不能让原磁通量严格不变。接下来用滑动金属棒，把能量收支算出来。

07 究竟是什么推动电荷

我们已经有可靠的回路规则，但还可以问：究竟是什么作用在电荷上？有两种有用的情形。静止导线处在变化磁场中，会受到感应电场作用；导线在磁场中运动，它带着的电荷会受到磁力作用。两种作用都可能贡献电动势，实际装置也可能同时包含两者。

第一种情形中，电场可以环绕变化磁通量的区域。即使那里不放导线，这种电场也存在；导线只是给可移动电荷提供导电路径。这与固定电荷产生的静电场不同：静电场让电荷绕闭合路径一周，单位电荷的总功为零；变化磁场的情形，恰好允许这个闭合路径总量不为零。

第二种情形使用实验建立的磁力规律：正电荷 $q$ 以速度 $v$ 垂直磁场 $B$ 运动时，所受磁力大小为 $qvB$，方向垂直于运动和磁场，并由右手规则确定。这里 $q$ 是我们正在追踪的电荷量，不必等于一库仑。同一个正电荷在电场 $E$ 中，所受电力为 $qE$。下面用 $F_B$ 标记磁力，用 $F_E$ 标记电力。

先取一根孤立金属棒，让棒长方向 $\ell$、速度方向和磁场方向彼此垂直。移动金属棒时，磁力让可移动电子向一端重新分布，另一端因电子不足而显正电；带正电的金属离子仍束缚在晶格中。这种电荷分离会在棒内建立电场。这个场增大，直到电力与导致分离的磁力平衡，得到平衡电场 $E=vB$。

为什么这给出了电压？恒定电力 $qE$ 沿距离 $\ell$ 所做的功大小为 $qE\ell$，功再除以电荷量，就得到电势差大小 $E\ell$。所以开路金属棒两端有电势差 $B\ell v$。接到导轨回路后，运动金属棒贡献动生电动势 $B\ell v$，完整回路及其电阻再决定电流。

现在再从磁通量核对同一个大小。短时间 $\Delta t$ 内，匀速金属棒前进距离 $v\Delta t$。新扫过的长方形条宽为 $v\Delta t$、高为 $\ell$，所以面积 $\Delta A=\ell v\Delta t$。乘以垂直的均匀磁场，得到 $|\Delta\Phi|=B\ell v\Delta t$。除以时间，非零的 $\Delta t$ 消去，再次得到 $B\ell v$。局部磁力解释与整个回路的磁通量解释相互吻合。

图里金属棒向右运动，外加磁场向屏幕里。棒中正电荷受到的磁力向上，因此电流沿棒向上，整体逆时针。这个电流产生向外的磁场，反抗正在增加的向内磁通量。两种方法给出同一个方向。

08 电能从哪里来

有电动势，并不表示能量是免费的。金属棒回路闭合后有电流，外加磁场会对载流金属棒施加与运动方向相反的力。要保持匀速，外力就必须平衡这个磁阻力。我们把大小推出来，而不是只给动画贴一个“能量”标签。

为了求电流受到的力，暂用等效正载流子来计算。设单位体积有 $n$ 个可移动载流子，每个电荷为 $q$，沿棒漂移速度为 $u$，导线横截面积为 $a$。时间 $\Delta t$ 内，长度 $u\Delta t$ 中的载流子会穿过计数面，因此个数为 $nau\Delta t$，电荷量为 $naqu\Delta t$；除以时间得到电流公式 $I=naqu$。这里用正载流子只是计算方便，换成负电子也得到相同的约定电流结果。

长度 $\ell$ 的棒里共有 $na\ell$ 个这样的载流子，每个因沿棒漂移受到大小为 $quB$ 的磁力。把这些力相加：$F=(na\ell)quB$。把其中的 $naqu$ 认成刚求出的电流，就得到磁阻力 $F=B\ell I$ 反抗棒的运动。

稳定拉力沿距离 $x$ 做功为 $Fx$。除以所用时间，再使用 $x/\Delta t=v$，机械输入功率就是 $P_{\text{in}}=Fv$。电荷量 $Q$ 转移的电能为 $\varepsilon Q$，除以时间，再使用 $Q/\Delta t=I$，就得到电功率 $P_{\text{electric}}=\varepsilon I$。功率表示每秒转移多少能量，单位为瓦特 W。

最后，对我们的电阻负载，$\varepsilon=IR$，所以发热功率为 $\varepsilon I=(IR)I=I^2R$。这样就证明，在这个理想稳定模型中，机械输入功率等于电阻发热功率。能量来自拉棒的人或机器，磁场使这种转移得以发生。

这里还有一个细节：磁力垂直于电荷的总瞬时速度，所以磁力本身不对单个点电荷做功。在运动导体中，电荷分离、电场以及外界机械约束共同起作用。因此，不能把静磁场说成一种被消耗掉、用来供电的燃料。

09 把转动变成发电机

有限长导轨上的金属棒不能一直走下去。转动线圈解决了这个实际问题：它能回到原位置，再重复一次。面积和外加磁场保持不变，但角度连续改变，所以磁通量变化。发电机把维持这种转动所需的机械功转化为电能。

角速度 $\omega$ 告诉我们角度改变多快。先定义弧度：半径为 $r$ 的圆上，一段弧长为 $x$，它对应的角度定义为 $x/r$。因此，角度使用弧度时有 $x=r\theta$。匀速转动时两边除以时间，半径 $r$ 处的速率为 $v=r\omega$。若从完全正对开始，时刻 $t$ 的角度为 $\theta=\omega t$，之前推导的磁通量规则给出磁通量 $\Phi=BA\cos(\omega t)$。

不必先假定你会对余弦求导，我们可以用刚推导的动生电动势求结果。取一个长方形线圈，让它绕穿过中心、平行于两条长边的轴转动。每条长边长 $\ell$，距轴 $r$，因此两边相隔 $2r$，所围面积是 $A=2r\ell$。两条长边的速率都是 $r\omega$。

法线与磁场对齐的瞬间，两条长边沿磁场方向运动，所以沿长边没有磁力引起的电荷分离。线圈转过 $\theta$，边的速度相对磁场也转过相应角度。垂直磁场的速度分量大小为 $r\omega|\sin\theta|$；正弦就是垂直投影比例，在直角三角形中为对边除以斜边。需要放进金属棒结果的，正是这个分量。

每条长边贡献的电动势大小是 $B\ell r\omega|\sin\theta|$。两条边运动方向相反，但我们沿回路走一圈时，经过两条边的方向也相反，所以它们的环路贡献相加。在这个几何结构下，短边沿自身方向没有电动势贡献。两条长边与 $N$ 匝串联，给出 $2NB\ell r\omega|\sin\theta|$。再把 $2r\ell$ 换成面积 $A$，并按开始时正磁通量减小的方向配上符号，就得到带符号结果 $NBA\omega\sin\theta$。

正弦的最大绝对值为一，所以峰值电动势 $\varepsilon_0$ 为 $NBA\omega$。在这个模型的条件下，增加匝数、面积、磁场或转速，都能增大峰值。半周后电动势反向，接电阻负载时，电流也周期性反向，这就是交流电，简称 AC。带负载时维持旋转需要机械功，发电机不能脱离驱动凭空供能。

10 两个线圈与变压器

我们也可以在两个彼此分开的线圈之间传递能量。让第一个线圈通过交变电流，把它叫作原线圈。它变化的磁场穿过第二个线圈，即副线圈，在那里产生电动势。原线圈的电荷不必跳进副线圈导线，能量通过电磁场传递。

对理想变压器，假设两个绕组的每一匝都链接相同的变化铁芯磁通量，忽略绕组电阻、磁损耗和漏磁。原线圈匝数为 $N_p$，副线圈匝数为 $N_s$。每匝经历相同的磁通量变化率，所以法拉第定律给出 $\varepsilon_p=-N_p d\Phi/dt$、$\varepsilon_s=-N_s d\Phi/dt$。把非零振幅相除消去共同变化率，得到电压比等于匝数比：$V_s/V_p=N_s/N_p$。

这里的 $V_p$、$V_s$ 表示交流电压有效值。“有效”指在电阻中产生相同平均发热效果的恒定电压。整个副线圈波形都是原波形乘以同一个匝数比，所以有效值也乘以这个比。绕线方向还决定相对极性，这里显示的是大小之比。

副电压加倍，并不会免费得到双倍功率。无损耗变压器接电阻负载时，平均输入、输出功率相等：$V_pI_p=V_sI_s$。两边除以非零的 $V_pI_s$，得到 $I_p/I_s=V_s/V_p=N_s/N_p$。因此升压伴随相反的电流比例；改变负载，也会改变电源需要提供多少功率。

恒定电流产生恒定铁芯磁通量，所以开关过渡结束后，不能维持副线圈感应。这就是普通变压器需要变化输入的原因。电子电源可以从直流源开始，再快速开关，制造变压器所需的变化电流。实际器件还会发热损耗，铁芯也可能饱和，因此理想比例描述一个有用的极限，不是在保证真实器件无损耗。

11 线圈也能产生自感电动势

前面我们常把感应电流近似看成电动势立即除以电阻。可是线圈自己的电流也产生磁通量；如果自己的电流变化，这部分磁通量也变化，就会在同一个绕组里再产生电动势。这叫自感，解释了为什么线圈能反抗电流变化，却并不禁止电流本身存在。

把所有匝链接的磁通量相加，叫作磁通链 $\lambda$。每匝相同时，$\lambda=N\Phi$。对形状固定、材料响应线性的线圈，磁通链与电流成正比；我们把比例系数定义为电感 $L$，即 $\lambda=LI$。这种正比关系是针对线圈及其工作范围的模型，不是每种磁性材料都无条件服从的规则。把法拉第定律用于磁通链，并保持 $L$ 不变，就得到自感电动势。

电感单位为亨利 H。由电动势关系可得 $1\,\text{H}=1\,\text{V}\cdot\text{s/A}$：电感一亨利时，电流以每秒一安培变化，对应一伏大小的电动势。正电流上升时，自感电动势为负；正电流下降时，自感电动势为正。它反抗的是变化，与楞次定律一致。

克服自感所做的额外功到哪里去了？理想电感把它储存在磁场中。我们把电流增加分成很小的步骤来算。要增大电流，电源需要克服电压 $V_L=L\,dI/dt$；短时间 $dt$ 内通过电荷 $dQ=I\,dt$。供给的小份能量是电压乘电荷，所以 $dU=(L\,dI/dt)(I\,dt)=LI\,dI$。时间因子消去，能量取决于电流增加到多少。

把电流从零增加到最终 $I_f$ 的贡献加起来，可以把 $I$ 作为横轴、$LI$ 作为纵轴。因为 $L$ 不变，图线是从原点到高度 $LI_f$ 的直线。每份小能量是直线下的一条窄面积，所有窄面积合起来成为直角三角形，恰好是底为 $I_f$、高为 $LI_f$ 的长方形的一半。因此储能为 $U=\tfrac12 LI_f^2$。系数二分之一来自逐渐建立磁场；如果把最终状态当成每个早期小步的状态，就会重复多算。

电流减小时，线圈可以把储能返回电路。若试图极快地切断电流，$|\Delta I/\Delta t|$ 就很大，所需电压也可能很大。因此实际电路会安排通路或元件来处理开关瞬态。前面的纯电阻近似，适用于自感在所研究时间尺度上影响很小的情形，并不是每个真实线圈的完整响应。

12 自己走一遍推理过程

这些题共用一个办法：找出回路并选定法线；判断磁通量的哪一部分在改变；求平均变化率时用末值减初值除以时间；用楞次定律判断方向；结合电路条件计算电流；最后检查电能由谁提供。