双缝干涉 · AxiOstra

1 · 什么是波的干涉？

取绳子上的一小段。某一时刻，它可以在平衡位置上方，也可以在下方，因此位移有正负。如果两列小振幅波在这里重叠，同一地点、同一时刻的位移相加。这是线性波的叠加原理。

相位表示一次重复振动进行到周期中的哪个位置。一整周期对应 360°，也就是 $2\pi$ 弧度。相位差比较两次振动错开了多少；180° 表示错开半个周期。波长 $\lambda$ 是同一列行波中相邻两个波峰之间的距离。

下方前两条曲线是 $y_1$ 、 $y_2$ ，第三条是它们的和。相位差为 0°，波峰对波峰，位移加倍；相位差为 180°，波峰对上同样大小的波谷，总位移为零。拖动滑块，也可以暂停，在同一个横坐标比较三条曲线。干涉就是这种包含增强与抵消的叠加。

相位差 0 °

波峰一起到达：相长干涉。

y₁(0) = 0.00, y₂(0) = 0.00, y(0) = 0.00

光是电磁波，不是振动的绳子，但在线性介质中，电场振幅同样叠加。对固定频率的单色光，平均强度与振幅平方成正比：振幅加倍，强度变成四倍；合振幅为零，对应暗处。绳子只帮助我们看懂带正负号的量相加，不表示光需要一根物质绳子来传播。

y=y_1+y_2,\qquad I\propto A_{\rm total}^2

2 · 两条传播距离怎样产生相位差

用同一个相干光源照亮两条窄缝。“相干”指两路波的相对相位足够稳定，能够形成稳定图样。波通过每条缝后向外展开，屏上一个位置同时收到两条缝的贡献。

屏幕中心到两缝距离相等，波同相到达；移到侧面，一条距离变长。多走一个波长，恰好多走一整周期，也就是 2π 弧度，仍然增强；多走半个波长，则反相抵消。因此不同位置依次出现亮处和暗处。

选一个屏幕位置，追踪多走的距离

保持双缝相干。图中标出的屏幕点随这个控件移动；中心上方记为正的 $y$ 。图把很小的竖直距离放大，计算仍使用米。我们比较的是到达同一个点的两路波的贡献。

屏幕位置

y=0.000\,\mathrm{mm}

两条缝分别在中心上下 $d/2$ 处。每条路程都是直角三角形的斜边：斜边长的平方等于水平距离、竖直距离的平方之和。把从上缝出发的路程叫 $r_1$ ，从下缝出发的叫 $r_2$ 。
$r_1=\sqrt{L^2+(y-d/2)^2}=1.500000003\,\mathrm m$
$r_2=\sqrt{L^2+(y+d/2)^2}=1.500000003\,\mathrm m$
两段路程相减。差值比整段路程小得多，因此把它换成与波长相同的纳米单位。
$\Delta r=r_2-r_1=0.00\,\mathrm{nm},\quad 1\,\mathrm m=10^9\,\mathrm{nm}$
除以一个波长，得到多走了多少个周期。一整周期是 $360^\circ$ ，半个周期使波峰对上波谷。
$\Delta r/\lambda=0.00/550=0.0000,\quad\Delta\phi=0.00^\circ$
多走整数个周期会增强；多走半整数个周期时，两路等振幅的波相消；中间位置则部分增强。下方数值把干涉因子与最大值 $1$ 比较。实际缝宽产生的宽包络仍需由完整实验计算。
$\cos^2(\pi\Delta r/\lambda)=1.000$

虚线用于比较到同一点的路程，不是给某个光子指定隐蔽路径。弧线示意波的展开，不按比例。 $d$ 是缝距， $L$ 是屏距， $y$ 是沿屏幕偏离中心的位置， $\theta$ 是相对中央方向的角度。远场中路程差为 $d \sin \theta$ ；靠近中心时， $\sin \theta \approx y/L$ 。

波长

\lambda

550 nm缝距 d 0.18 mm

正在准备模型…

\Delta r=d\sin\theta\approx\frac{dy}{L},\qquad\Delta\phi=\frac{2\pi\Delta r}{\lambda}

3 · 一次只到达一个探测事件时，改变了什么？

当光足够弱，灵敏的探测器会记录彼此分开的局域事件。一次事件只标出一个位置；重复相同的制备，累积结果逐渐形成干涉条纹。一次事件不是一整条亮纹，一条亮纹也不是某个光子的路线。

量子理论给不同可能过程指定振幅。两缝都打开，而且没有能区分路径的记录时，概率密度正比于 $\lvert \psi_1 + \psi_2\rvert^2$ ：先加振幅，再平方。如果只把 $\lvert \psi_1\rvert^2$ 与 $\lvert \psi_2\rvert^2$ 相加，就漏掉干涉项，得到不同分布。下方按这些概率抽样，不声称解决了测量问题，也不画出光源与探测器之间的确定轨迹。

4 · 从空白屏幕开始逐点积累

先点几次“探测一次”：每点一次，恰好增加一个模拟探测事件。再开始慢速积累，最后切换快速积累。两种速度使用完全相同的概率分布。蓝点表示单次事件；下方蓝柱统计等宽屏幕区间里的事件数，琥珀色曲线给出相同总样本数对应的期望计数。

这里把屏幕转向我们，横坐标从 −25 到 +25 mm。点的纵向位置均匀散开，只为让独立标记容易分辨，强度计算本身是一维的。改变波长、缝距或路径条件会清空屏幕，避免把不同实验的结果混在一起。

波长

\lambda

550 nm缝距 d 0.18 mm路径条件

双缝近轴条纹间距

\lambda L/d

4.58 mm

积累速度N = 0

计数以探测发生在所显示的屏幕范围内为条件。时间为教学而慢放；事件结束后，点会保留，短暂圆环标出最新事件。到 6,000 个事件后停止，清空屏幕可重新开始。

相干条件下，在较宽的衍射包络内部出现重复的极小与极大。少量样本不一定像光滑曲线；符合是统计意义上的，样本增加后会更清楚。

比较 550 nm 与 750 nm：条纹间距增大。清空屏幕，再比较 $d = 0.18\ \mathrm{mm}$ 与 $d = 0.30\ \mathrm{mm}$ ：条纹靠近。单条缝的宽度始终为 0.04 mm。积累速度只改变等待时间，不改变条纹间距。

检查理解：一次探测能显示出干涉图样吗？

不能。它只给出一个位置，概率分布描述的是许多次重复试验。相对暗处出现一个点并不矛盾：暗通常表示概率较低；理想密度恰好等于零则是特殊极限情况。

5 · 条纹公式怎样得到

现在给刚才的相加写出数学形式。在屏上某点，取相同振幅 $A$ 、共同角频率 $\omega$ ，以及相位差 $\Delta \varphi$ 。余弦相加恒等式把两次振动合成为一个振幅改变了的振动。

y_1=A\cos\omega t,\quad y_2=A\cos(\omega t-\Delta\phi)

时间变化的余弦前面的系数为 $2A \cos (\Delta \varphi /2)$ 。把振幅平方，得到干涉因子 $\cos^2(\Delta \varphi /2)$ 。再代入 $\Delta \varphi \approx 2\pi dy/(\lambda L)$ 。实际窄缝还有有限宽度，单条缝也会衍射，因此还要乘上单缝包络。

y_1+y_2=2A\cos(\Delta\phi/2)\cos(\omega t-\Delta\phi/2)

\begin{aligned}I(y)&\propto\operatorname{sinc}^2\!\left(\frac{\pi ay}{\lambda L}\right)\\ &\quad{}\times\cos^2\!\left(\frac{\pi dy}{\lambda L}\right)\\ \operatorname{sinc}(u)&=\frac{\sin u}{u}\end{aligned}

这里 $a = 0.04\ \mathrm{mm}$ 是一条缝的宽度。sinc 包络来自把整个缝宽内的贡献相加，是这里采用的远场孔径计算结果，不是把一条缝当作一个点就推出的。当 $u = 0$ 时，按极限定义 $\operatorname{sinc}(u) = 1$ 。干涉极大的路程差为整数 $m$ 倍的 $\lambda$ ，相邻整数值便给出下面的间距。

\begin{gathered}d\sin\theta=m\lambda\\ \Longrightarrow\quad y_m\approx\frac{m\lambda L}{d}\\ \Delta y\approx\frac{\lambda L}{d}\end{gathered}

模型假定两条相同矩形窄缝、单色照明，以及近轴远场传播。单缝包络可能压低甚至消去某个预期的干涉极大。波前示意与探测时序经过教学缩放，概率抽样使用上述孔径模型。直方图只对有限屏幕范围归一化，以便进行相同范围的比较，不假装每个发出的光子都被屏幕收到了。

从波的叠加走到一次次探测