De sumar ondas a detectar eventos individuales

Dos aberturas frente a una pantalla podrían hacernos esperar dos marcas luminosas. Sin embargo, la luz puede formar muchas franjas claras y oscuras alternadas. Las zonas oscuras plantean una pregunta especialmente interesante: ¿cómo puede añadir otra abertura dejar algunos lugares más oscuros? Para abordar la pregunta, observaremos dos ondas que llegan a la misma posición. Sus variaciones pueden reforzarse o cancelarse, según cómo coincidan; esto es la interferencia. Después relacionaremos esa coincidencia con las distancias recorridas a través de las dos aberturas. Ten presentes las franjas oscuras cuando las detecciones individuales empiecen a formar el patrón de la pantalla: esa es la observación que la explicación debe justificar.

1 · ¿Qué es la interferencia de ondas?

Tomemos una pequeña sección de una cuerda. En cualquier instante, su desplazamiento puede estar por encima o por debajo de la posición de reposo, de modo que tiene un signo. Si se superponen dos ondas pequeñas, sus desplazamientos se suman en el mismo lugar y en el mismo instante. Este es el principio de superposición para ondas lineales.

La fase indica cuánto ha avanzado una oscilación periódica dentro de su ciclo. Un ciclo completo son 360°, o $2\pi$ radianes. Una diferencia de fase compara dos oscilaciones; 180° significa que están separadas por medio ciclo. La longitud de onda $\lambda$ es la distancia entre dos crestas consecutivas de la misma onda viajera.

Las dos primeras curvas de abajo muestran $y_1$ e $y_2$ ; la tercera es su suma. Con una diferencia de fase de 0°, las crestas coinciden con crestas y el desplazamiento se duplica. A 180°, una cresta coincide con un valle de igual magnitud y el desplazamiento total es cero. Usa el control y pausa el movimiento para comparar las tres curvas en la misma posición horizontal. La interferencia consiste en esta suma, tanto cuando refuerza como cuando cancela.

Fase relativa 0 °

Las crestas llegan juntas: interferencia constructiva.

y₁(0) = 0.00, y₂(0) = 0.00, y(0) = 0.00

La luz es una onda electromagnética, no una cuerda que vibra, pero las amplitudes de su campo eléctrico también se suman en un medio lineal. Para luz monocromática de frecuencia fija, la intensidad media es proporcional al cuadrado de la amplitud. Duplicar la amplitud multiplica la intensidad por cuatro; una amplitud total nula produce una región oscura. La cuerda sirve para representar una suma con signos, no para afirmar que la luz necesita una cuerda material.

y=y_1+y_2,\qquad I\propto A_{\rm total}^2

2 · Dos caminos con distinta distancia producen una diferencia de fase

Iluminamos dos rendijas estrechas con la misma fuente de luz coherente. «Coherente» significa que su fase relativa se mantiene lo bastante estable como para producir un patrón estable. Al salir de cada rendija, la onda se extiende. Un punto de la pantalla recibe contribuciones de ambas rendijas.

En el centro, las distancias son iguales, por lo que las ondas llegan en fase. Al movernos hacia un lado de la pantalla, una de las distancias se hace mayor. Una longitud de onda adicional equivale a un ciclo completo, o 2π radianes, por lo que las ondas siguen reforzándose. Media longitud de onda adicional significa fases opuestas y cancelación. Por eso, distintas posiciones de la pantalla alternan entre claras y oscuras.

Elige un punto de la pantalla y sigue la distancia de más

Mantén la coherencia de las dos rendijas. El punto marcado en la pantalla se mueve con este control. Por encima del centro, $y$ es positivo. El dibujo amplía las distancias verticales, que son muy pequeñas; el cálculo sigue usando metros. Comparamos las contribuciones de dos ondas que llegan a ese mismo punto.

Posición en la pantalla

y=0.000\,\mathrm{mm}

Las dos rendijas están a $d/2$ por encima y por debajo del centro. Cada camino es la hipotenusa de un triángulo rectángulo: su longitud al cuadrado es la suma de los cuadrados de la distancia horizontal y la vertical. Llamamos $r_1$ al camino que sale de la rendija superior y $r_2$ al de la inferior.
$r_1=\sqrt{L^2+(y-d/2)^2}=1.500000003\,\mathrm m$
$r_2=\sqrt{L^2+(y+d/2)^2}=1.500000003\,\mathrm m$
Resta los dos caminos. La diferencia es diminuta comparada con cualquiera de los dos, así que exprésala en nanómetros, la unidad de la longitud de onda.
$\Delta r=r_2-r_1=0.00\,\mathrm{nm},\quad 1\,\mathrm m=10^9\,\mathrm{nm}$
Divide entre una longitud de onda para hallar cuántos ciclos de más recorre. Un ciclo completo es $360^\circ$ ; medio ciclo hace que una cresta coincida con un valle.
$\Delta r/\lambda=0.00/550=0.0000,\quad\Delta\phi=0.00^\circ$
Un número entero de ciclos de más refuerza; medio ciclo de más se anula cuando las amplitudes son iguales. En los valores intermedios hay un refuerzo parcial. El valor de abajo compara este factor de interferencia con su máximo, $1$ . La anchura real de las rendijas todavía aporta la envolvente ancha que se calcula en el experimento completo.
$\cos^2(\pi\Delta r/\lambda)=1.000$

Las líneas discontinuas comparan las distancias hasta un punto; no asignan al fotón una trayectoria oculta. Los arcos representan esquemáticamente ondas que se extienden. $d$ es la separación entre rendijas, $L$ es la distancia a la pantalla, $y$ es el desplazamiento sobre la pantalla y $\theta$ es el ángulo respecto a la dirección central. En el campo lejano, la diferencia de caminos es $d \sin \theta$ ; cerca del centro, $\sin \theta \approx y/L$ .

Longitud de onda λ 550 nmSeparación de rendijas d 0.18 mm

Preparando el modelo…

\Delta r=d\sin\theta\approx\frac{dy}{L},\qquad\Delta\phi=\frac{2\pi\Delta r}{\lambda}

3 · ¿Qué cambia cuando las detecciones llegan de una en una?

Con una intensidad de luz suficientemente baja, un detector sensible registra eventos separados y localizados. Cada evento marca una posición. Al repetir preparaciones idénticas se forma una distribución con franjas de interferencia. Un evento no es una franja entera, y una franja no es el camino de un fotón.

La teoría cuántica asigna amplitudes a las alternativas. Con ambas rendijas abiertas y sin un registro que permita distinguir el camino, la densidad de probabilidad es proporcional a $\lvert \psi_1 + \psi_2\rvert^2$ . Primero sumamos las amplitudes y después calculamos el cuadrado del módulo. Sumar directamente $\lvert \psi_1\rvert^2$ y $\lvert \psi_2\rvert^2$ elimina el término de interferencia y predice otra distribución. La simulación de abajo toma muestras según esas probabilidades; no resuelve el problema de la medición ni muestra una trayectoria definida entre la fuente y el detector.

4 · Construir un patrón desde cero, punto a punto

Primero usa «Una detección» varias veces. Cada clic produce exactamente un evento de detección simulado. Después inicia la acumulación lenta y, por último, cambia a la rápida. Ambas velocidades usan la misma distribución de probabilidad. Los puntos azules son los eventos individuales. Debajo, las barras azules cuentan eventos en intervalos de igual anchura de la pantalla; la curva ámbar indica el recuento esperado para el mismo número total de muestras.

Ahora vemos la pantalla de frente. Su coordenada horizontal va de −25 a +25 mm; las posiciones verticales de los puntos se distribuyen uniformemente solo para que las marcas individuales se distingan. El cálculo físico de la intensidad es unidimensional. Cambiar la longitud de onda, la separación de las rendijas o la condición de los caminos borra la pantalla para que no se mezclen resultados de experimentos distintos.

Longitud de onda λ 550 nmSeparación de rendijas d 0.18 mmCondición de los caminos

Separación entre franjas de doble rendija cerca del eje

\lambda L/d

4.58 mm

Ritmo de acumulaciónN = 0

El recuento está condicionado a que la detección ocurra dentro de la ventana de pantalla mostrada. El tiempo va ralentizado con fines didácticos. Los puntos permanecen tras cada evento y un anillo breve marca el más reciente. Tras 6000 detecciones la ejecución se detiene; borra la pantalla para empezar de nuevo.

Cuando las alternativas son coherentes, la distribución tiene mínimos y máximos repetidos bajo una envolvente de difracción más amplia. Una muestra pequeña no tiene por qué parecerse a esta curva suave; la concordancia es estadística y mejora al aumentar el número de eventos.

Compara 550 nm con 750 nm: las franjas se separan más. Borra la pantalla y compara $d = 0.18\ \mathrm{mm}$ con $d = 0.30\ \mathrm{mm}$ : las franjas se acercan. La anchura de cada rendija permanece en 0.04 mm. Observa que cambiar el ritmo de acumulación cambia el tiempo de espera, no la separación entre franjas.

Comprueba lo aprendido: ¿una sola detección puede mostrar el patrón de interferencia?

No. Solo da una posición. Una distribución describe muchos ensayos repetidos. Que aparezca un punto en una zona relativamente oscura no es una contradicción: oscura suele significar menor probabilidad, mientras que una densidad ideal exactamente nula es un caso límite especial.

5 · De dónde sale la fórmula de las franjas

Ahora escribimos matemáticamente la suma anterior. En un punto de la pantalla, tomamos amplitudes iguales $A$ , una frecuencia angular común $\omega$ y una diferencia de fase $\Delta \varphi$ . La identidad de suma de cosenos combina las dos oscilaciones en una con una amplitud distinta.

y_1=A\cos\omega t,\quad y_2=A\cos(\omega t-\Delta\phi)

El factor que multiplica al coseno que varía con el tiempo es $2A \cos (\Delta \varphi /2)$ . Al elevar la amplitud al cuadrado, obtenemos el factor de interferencia $\cos^2(\Delta \varphi /2)$ . Sustituimos $\Delta \varphi \approx 2\pi dy/(\lambda L)$ . Una rendija de anchura finita también produce difracción, por lo que debemos multiplicar este factor por la envolvente de una sola rendija.

y_1+y_2=2A\cos(\Delta\phi/2)\cos(\omega t-\Delta\phi/2)

\begin{aligned}I(y)&\propto\operatorname{sinc}^2\!\left(\frac{\pi ay}{\lambda L}\right)\\ &\quad{}\times\cos^2\!\left(\frac{\pi dy}{\lambda L}\right)\\ \operatorname{sinc}(u)&=\frac{\sin u}{u}\end{aligned}

Aquí $a = 0.04\ \mathrm{mm}$ es la anchura de una rendija. La envolvente sinc procede de sumar las contribuciones de toda esa anchura; es un resultado del cálculo de una abertura en el campo lejano que usamos aquí, no una consecuencia de tratar cada rendija como un punto. En $u = 0$ , $\operatorname{sinc}(u)$ se define mediante su límite, que vale 1. Para los máximos de interferencia, la diferencia de caminos es un número entero $m$ de veces $\lambda$ . Los valores enteros consecutivos dan entonces la separación que aparece abajo.

\begin{gathered}d\sin\theta=m\lambda\\ \Longrightarrow\quad y_m\approx\frac{m\lambda L}{d}\\ \Delta y\approx\frac{\lambda L}{d}\end{gathered}

El modelo supone dos rendijas rectangulares iguales, iluminación monocromática y propagación paraxial de campo lejano. La envolvente de una sola rendija puede atenuar o incluso anular un máximo de interferencia previsto. Los frentes de onda ilustrados y el ritmo de detección son esquemáticos; el muestreo de probabilidad usa el modelo de apertura indicado. El histograma se normaliza sobre la ventana finita mostrada, para comparar lo comparable sin fingir que la pantalla detecta todos los fotones emitidos.