摩尔与阿伏伽德罗常数

01二十四个鸡蛋，也可以叫两打

两只鞋是一双，十二个鸡蛋是一打。这些名称告诉我们，每一组包含多少个物品。一打鸡蛋和一打铅笔的物品不同，但个数相同。“打”并不是一种鸡蛋。

下面有 24 个鸡蛋，每个托盘能装 12 个。点击下一步，把同一批鸡蛋放入托盘，再看计算。过程中没有增加或拿走鸡蛋，改变的只是计数的方法。也可以试试 12 个或 36 个。

02把这一组数得更大一些

原子是构成物质的微小单位，一份碳样品中含有碳原子。有些原子结合成一个独立的小组，叫作分子；一个水分子由两个氢原子和一个氧原子结合而成。对于普通实验室里的一份样品，我们无法把这些微小对象逐个取出、逐个计数。

“一打”的思路仍然有用，但十二个粒子组成的一组实在太小。化学中使用一个大得多的固定数量：一摩尔，写作 1 mol，包含的指定对象个数恰好等于下面这个数。我们必须说明数的是什么：原子、水分子，还是另一种明确的粒子。

写法 $10^{23}$ 表示 23 个 10 相乘，结果是 1 后面跟着 23 个零。再乘以 6.02214076，就得到这里展开的长整数。这种短写法叫科学记数法，可以让我们在写很大或很小的数时，不容易数错它们的大小。

这个换算常数叫阿伏伽德罗常数，写作 $N_A$。它的单位 $\mathrm{mol}^{-1}$ 表示“每摩尔”。物质的量写作 $n$，告诉我们有多少摩尔；粒子个数写作 $N$，告诉我们这些摩尔一共包含多少个对象。

回想刚才的托盘：组数 × 每组个数 = 总个数。这里沿用同一个计数步骤：摩尔数 × 每摩尔的粒子数 = 总粒子数。如果反过来已知总粒子数，除以一摩尔的粒子数，就能知道有多少摩尔。

03一个原子有多重？

知道一摩尔包含多少个粒子，还不能知道它的质量。一打鸡蛋比一打回形针重，是因为每个鸡蛋的质量更大。同样，一摩尔较重的原子，比一摩尔较轻的原子质量更大。我们需要一个比较单个原子质量的方法。

把每种原子的微小质量都用克写出来，很不方便。因此，我们选一个固定的质量作比较标准：一个碳-12 原子质量的十二分之一。这个基准叫原子质量常数，记作 $m_u$；大小为 $m_u$ 的质量，也叫一个统一原子质量单位，写作 1 u。

碳-12 的中心含有 6 个质子和 6 个中子，周围还有 6 个轻得多的电子。一个质子和一个中子的质量都约为 1 u。粗略计算时忽略电子的微小质量，十二个较重的粒子合起来就约为 12 u。比较基准本身是用整个碳-12 原子定义的，单个粒子的质量这里只取近似值。

负指数用来表示很小的数：$10^{-24}=1/10^{24}$。所以 $1.66054\times10^{-24}$ 克，就是把 1.66054 除以一个 1 后面有 24 个零的数，单位为克。接下来的计算保留短写法，才容易看清。

假设某个原子的质量是这个基准的 16 倍。我们可以记录这个比值 16，也就是用原子质量除以基准质量。相对原子质量记作 $A_r$，表示这样的比较。下面的 $m(\mathrm X)$ 表示所选种类 X 的一个原子质量。上下两个质量使用相同单位，单位相消，因此 $A_r$ 没有单位。把比值乘回基准质量，就得到原子的质量。

一个氢原子的质量约为 $1.66\times10^{-24}$ g，接近基准质量，所以相对原子质量约为 1。根据比较基准的选法，碳-12 的相对原子质量恰好是 12。普通碳的表格值是约 12.01 的平均值，因为碳原子的质量并非全部相同。本页的学校计算会采用明确给出的取整值，例如 C = 12。

04这样小的质量，为什么能变成几克？

现在回到最初的问题：我们能称出一份样品的质量，却不能逐个数它的原子。只要知道一个原子的质量，再乘以一摩尔的原子个数，就能求出这一摩尔的质量。这里仍然是鸡蛋计数中用过的乘法，只是这次算的是质量。

为什么接近 $6.02\times10^{23}$ 的个数这么方便？我们可以问：多少份基准质量能组成 1 克？用 1 g 除以每份约 $1.66\times10^{-24}$ g，下面得到的个数就接近一摩尔的粒子数。因此，一摩尔份基准质量合起来约为 1 克。这个取整计算解释了这个个数为什么方便，并不能求出精确常数的每一位数字。

继续使用碳-12 这个例子。一个原子的质量是 $12m_u$，一摩尔包含 $N_A$ 个原子。点击下面的下一步，把这些量相乘、重新组合数字，再检查十的幂。这样就能用粒子数算出总质量。

我们已经求出，1 mol 的质量约为 12 g。把这份质量除以 1 mol，得到每摩尔的质量：12 g ÷ 1 mol = 12 g/mol。这种每摩尔的质量叫摩尔质量，记作 $M$。注意区别：$A_r=12$ 是单个原子与基准的比值；$M\approx12\,\mathrm{g/mol}$ 是每摩尔的质量。在学校计算的精度下，数值相对应，但意义和单位不同。

换成另一种原子，乘法仍然成立：原子质量是 $A_r m_u$，因此摩尔质量是 $A_r m_uN_A$。由于 $m_uN_A\approx1\,\mathrm{g/mol}$，得到 $M\approx A_r\,\mathrm{g/mol}$。相对原子质量接近 40，对应的摩尔质量就接近 40 g/mol。

05CaCO₃ 告诉我们数什么？

碳是一种元素，它的原子都是碳原子。碳酸钙含有几种元素，化学式是 $\mathrm{CaCO_3}$。Ca、C、O 分别表示钙、碳、氧。右下方的小数字属于它前面的元素符号：3 表示三个氧；没有写小数字，就表示一个。

碳酸钙并不是由一个个独立的 CaCO₃ 分子组成的。这里数的是化学式单位：每个单位记录化学式给出的比例——1 个钙 : 1 个碳 : 3 个氧。模型把这五个原子摆在一个计数台上，告诉我们相加时要包括哪些部分，并不是在展示一个单独漂浮的 CaCO₃ 分子。

使用取整的相对原子质量 Ca = 40、C = 12、O = 16。化学式里数到的每个原子都必须计算在内。点击下一步，观察当前是哪一部分在贡献质量。三个氧的贡献会分别列出，再相加。

对于一个化学式单位，相加所得的值叫相对式量。它不是某种新元素的相对原子质量：碳酸钙仍然含有钙、碳、氧。把每一部分的原子贡献都放大到同样的摩尔计数，就得到约 100 g/mol 的摩尔质量。

06从摩尔数算出能称量的质量

一摩尔碳酸钙的质量约为 100 g。两摩尔包含两倍的化学式单位，质量也为两倍；半摩尔包含一半的化学式单位，质量也为一半。注意，100 g/mol 表示每摩尔的质量，不是每一份样品都重 100 g。

把样品质量写作 $m$。物质的量 $n$ 告诉我们有多少摩尔，摩尔质量 $M$ 告诉我们每摩尔的质量。因此 $m=nM$：摩尔数 × 每摩尔的质量 = 总质量。单位 mol 相消，留下克。可以先改变下面的 $n$，再逐步查看乘法。

天平给我们的是质量，所以经常需要反过来计算。假设称出 25 g 碳酸钙，而每摩尔重 100 g，那么这份样品含有 $25/100=0.25$ mol。用字母写也是同一个道理：把 $m=nM$ 的两边同时除以不为零的摩尔质量 $M$，右边的 $M$ 相消，得到 $n=m/M$。

07反应式前面的大数字表示什么？

化学反应会改变原子的结合与排列方式，但普通化学反应不会把一种元素变成另一种元素。考虑碳酸钠与水中的盐酸反应，生成氯化钠、水和二氧化碳气体。这个反应不需要先加热才会发生。

箭头表示“反应生成”。化学式前面的数字数的是整个化学式的份数，所以 2HCl 一共贡献两个 H 和两个 Cl。相比之下，H₂O 右下角的 2 只属于 H：一个水分子有两个 H 和一个 O。改变下标，就改变了物质本身，不只是改变用量。

把配平的反应式读成一个计数配方：1 个碳酸钠化学式单位对应 2 个 HCl 单位，生成 2 个氯化钠化学式单位、1 个水分子和 1 个二氧化碳分子。和 CaCO₃ 一样，这些盐的计数组称为化学式单位，而不是独立分子。这里记录的是总个数关系，并不是说这些对象在一次碰撞中同时完成反应。下表检查了每种元素在两边的个数相同。

现在把每一个个数都乘以相同的阿伏伽德罗数，比例不会改变。因此，一摩尔碳酸钠需要两摩尔 HCl，生成两摩尔氯化钠、一摩尔水和一摩尔二氧化碳。这就是反应式系数给出摩尔比、而不是质量比的原因。

选择参与反应的碳酸钠有多少摩尔。这个例子恰好供应所需的酸，并假设反应完全进行。逐步查看“质量 → 摩尔数 → 摩尔比 → 新质量”，保留中间的摩尔数，避免把系数比例直接套到克上。

如果另一种反应物先用完，就不能把给定样品全部代入反应。例如，1 mol Na₂CO₃ 需要 2 mol HCl；如果只有 1 mol HCl，就只能让 0.5 mol Na₂CO₃ 反应。先用完的物质限制了反应进行的多少，原因仍然是同一个配方比例。

这里的反应质量均采用取整值：H 1、C 12、O 16、Na 23、Cl 35.5、Ca 40。更精确的原子质量会带来小幅数值差异，但不会改变计数方法。

08自己把这些联系用一次

需要提醒时，可以回看上面的例子。除了填入数值，也试着说明数的对象与单位；核对按钮会显示完整计算。

我们从成组数鸡蛋开始，把这个想法延伸到微小对象，就认识了摩尔。N = nNₐ 联系摩尔数与粒子个数，m = nM 联系摩尔数与质量；配平的反应式则联系不同物质的摩尔数。把这三个联系分清，质量计算就能一步步重新构造出来，而不必只背公式。