排列与组合
四位朋友准备做一次展示，需要一位发言人和一位记录员。阿达发言，本记录。两人交换工作，算不算另一种安排？如果现在只要选出一个两人小组，不再分配工作，交换两人的位置还会改变小组吗？我们一直用这几个人，慢慢看清究竟在数什么。
开始时只需要会加、乘、除。我们会在看过具体选择以后，再解释相应的名称和符号。这里每个人都不同，而且在同一种安排里，一个人不能占两个位置。
01交换两个人，结果变了吗？
在下面选一位发言人，再选另一位记录员。卡片上的字母跟着人走，并不代表工作。两个位置都填好以后，点交换工作，看看两个工作名称下的人名怎样变化。
请在上方选择两个不同的人。
阿达发言、本记录，与本发言、阿达记录，是两种不同的安排。因为两份工作不同，我们必须记住每个位置上是谁。这样的选择需要分清位置和顺序，叫作排列。
工作栏下方的小组不区分发言和记录。交换以后，小组里仍然是同样的两个人。只记录选了哪些人、不区分顺序的选择，叫作组合。我们先数工作安排，再用这个结果数小组。
02为什么可以用乘法数出来？
逐个写出工作安排时，很容易漏掉一种。不如暂时固定发言人，把可能的记录员列全。阿达发言时，本、克莱奥、丹都可以记录，所以以阿达为发言人的安排有三种。
下面每行左边固定一位发言人，连线通向右边每位允许选择的记录员。所以一条完整的路径表示一位发言人加一位记录员。点下一步逐行展开；也可以点路径，读出这一路的两份工作。
每条路径从左向右读：发言人 → 记录员。
共有四行，每行三种安排。各行不会重复：阿达发言的安排，不会同时又是本发言的安排。任何一种安排也必定属于其中一行，因为发言人一定是这四个人中的一位。所以我们数的是四组互不重复的三种安排，也就是 。
第二次能选谁取决于第一次，因为同一个人不能再次占位。可是无论先选谁，第二次都恰好剩三种选择。这个数量相同，才使我们可以这样相乘。如果增加限制，导致各行剩余人数不同，就应该分别数各行，再把它们相加。
03让每个人都有一个位置
还是这四位朋友，不过现在让四个人全部排成一行。第一位有四种选择，选走一人后，第二位剩三种；第三位剩两种，最后一位只剩一种。沿用刚才分支计数的理由，完整队列共有 种。
把所有不同的人排好时，经常会遇到这样逐次减一的乘积，所以我们给它一个简写：，读作四的阶乘，表示 。这里的感叹号是数学记号，并不是把四加几遍，也不是重复写四。
下面用 表示总人数。动画从左向右填好一条示例队列。每个位置下面的乘数，记录这个位置原本有几种选择，而不是记录示例选了谁。乘积数的是所有可能的队列；画面填出的，只是其中一条。
对于任意正整数 ，各位置的选择数依次为 、，一直到 。这个乘积叫作 。每一条完整队列都对应唯一的一串选择，所以不会重复计算，也不会遗漏。
不选任何人，有一种做法：留下空队列。虽然没有需要作出的选择，空的结果本身仍然有一个。因此安排数是 ，不是零。无法完成的要求有零个结果；不需要选择任何人的要求，有一个空结果。
试着把 调到零。这也与 的规律一致：一个人只有一种队列，因此剩下的空部分也应算一种安排。我们把没有乘数的空乘积取为 ，这样它不会改变一次乘法的结果。
04只填一部分位置
回到发言人和记录员。我们有四个人，却只有两个工作位置，所以数到 就应该停。如果继续乘 ，就连没有被选中的两个人也排上了顺序，而题目没有要求这件事。
现在用 表示可选的总人数，用 表示要填的位置数。它们都是整数，并且 。我们用 记排列数。因此四个人选两个工作位置，就是 。
当 时，第一个位置有 种选择，第二个剩 种。填最后一个，也就是第 个位置之前，已经用掉 人，因此剩余人数是 。把这 个选择数相乘，理由仍然是两份工作那棵分支图中，每个分支都有相同数量的后续选择。
怎样用阶乘把这个乘积写短一点？原来的例子里，。需要保留的是前面的 ；多出来的末尾是 。除去整个多余的末尾，就会把它约掉，只留下所需的两个乘数。
改变 或 ，再逐步观察选人和约分。为了让画面容易查看，这里最多填三个位置；刚才的推导适用于所有允许的 。
对于一般的 和 ，也可以这样拆开。前面保留 个乘数，剩下的末尾从 乘到 ，就是 。阶乘不为零，因此可以除以它，得到下面的写法。 时，不保留任何乘数，得到一种空选择。
05同一个小组有几种排法？
现在可以来数小组了。阿达和本组成的小组，在工作安排中出现两次：阿达在前、本在后，以及本在前、阿达在后。现在不分配工作，这两种顺序就应该合成一个小组。每个两人小组都恰好有这两种顺序，不多也不少。
因此，12 种工作安排可以两两分组，得到六个小组。要除以的是同一个小组的不同顺序数，不是可选总人数。这里这个数是 ，所以小组数为 。
观察下面各个顺序怎样归到自己的小组里。字母始终代表同一个人；箭头记录顺序，花括号只记录有哪些成员。点一个小组，就能追踪它的所有顺序。再试试每组有三个人：同一组三人可以按 种顺序排好，因为我们正在把这三个成员放进三个位置。
这里最多展示五人中选三人，这样每一种顺序都能看见。改变任何一个数，分组过程都会重新开始。
所有有序选择
一般情况的除法也来自这里。先数从 人中选 人的全部排列，共有 种。固定其中某个小组的成员后，按照阶乘的理由，这 个不同成员可以排成 种顺序。每种排列都恰好有一组确定的成员，所以只属于一个小组；每个小组的排列数又都相同，都是 。
用 表示小组数。小组数乘每组的排列数，等于全部排列数：。两边除以 ，再代入刚推导的 公式。先除以 ，再除以 ，就等于除以这两个数的乘积。
你也可能见到 ，英文读作 n choose r。它与 表示同一个组合数，并不是另一种方法。真正需要判断的仍然是：交换选中成员的位置，会不会改变题目要记录的结果？
06检查两端的情况
公式应该与任务本身的意思一致。我们用四个不同的人，检查几种不用公式也能判断的情况。一个人都不选，有一种空结果；四个人全部选上，小组只有一个，队列却可以有许多种。
这些公式数的是不同对象、不重复选取的情况。例如，两位数密码允许重复同一个数字，第二位就不会少一种选择，不能套用这里的减一规则。另外，从四人中选出五个不同的人无法完成，结果数为零，也超出了前面规定的 范围。
07先判断什么算一个结果
每题先判断：选中的人相同，只改变顺序，算不算一个新结果？然后写出各步的选择数，再使用阶乘简写。尝试后展开答案，核对每个乘数具体数的是什么。
五位朋友需要一位发言人和一位记录员，有多少种工作安排？
查看推理
工作不同，所以需要区分位置。发言人有五种选择；选好以后，记录员从剩下四个人中选，共 种。阶乘写法是 。这里的 去掉了未获工作那三人的额外排列。
同样五位朋友，现在要选一个三人小组，不分配不同工作，有多少种小组？
查看推理
先数有序选择：。同一个三人小组会出现六种顺序，因为 。每种顺序只属于一个小组，所以除以六：。不能只除以三，因为三个人的顺序数是六，不是三。
书架上有四本不同的书。把四本书全部排成一行，有多少种排法？如果只选出全部四本书、不排列，又有多少种选择？
查看推理
排成一行时，位置不同，共 种。只选书时，每一本都必须选上，所以只有一个小组。公式给出 。这里的 对应小组外剩下的空部分，它等于一。
这些公式来自两个动作：把各位置的选择数相乘；如果不区分位置，再除以同一个小组的排列数。决定用哪个公式之前，始终先问：怎样才算一个不同的结果？
